6. Элементы дифференциального исчисления в л н п: производная по направлению, первая вариация функционала
ЛИНЕЙНЫМ МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ (ЛМП) называется линейное пространство, в котором каким-либо способом введена метрика, инвариантная относительно сдвига, т.е.
.
НОРМИРОВАННЫМ ПРОСТРАНСТВОМ называется линейное пространство, в котором каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число – норма элемента
Определение: приращением ;
Предположим, что приращение функционала можно представить в виде где - линейный по отношению к функционал, а
Определение: Величина , т.е. главная, линейная по отношению к часть приращения функционала называется вариацией функционала и обозначается
Будем далее рассматривать линейное нормированное метрическое пространство , на котором задан функционал .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Производной по направлению
функционала
в точке
называется предел (если он существует)
.
Заметим, что производная
является числом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Если для некоторой фиксированной точки
для функционала
существует производная
по любому направлению
,
то функционал
,
определённый на множестве
элементов
называется первой вариацией функционала
в точке
:
говорят, что в этой точке функционал
имеет первую вариацию.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Если
в точке
функционал
имеет первую вариацию,
,
удовлетворяющую равенству
,
,
или, что то же самое, если существует
предел
,
,
то говорят, что в этой точке функционал имеет первую вариацию в смысле Лагранжа (по Лагранжу).
Примеры
Для функционала
вещественной
функции вещественного аргумента — для
любой 
и 
будет
верным 
.Для функционала
вещественной
функции вещественного аргумента — для
любой
и
будет
верным 
.Для функционала
вещественной
функции вещественного аргумента — для
любой
и
будет
верным 
.
Примеры
(Здесь не вводится специальных обозначений для производной по направлению.)
Производная функционала
в
точке 
по
направлению 
равна 
.Производная функционала в точке по направлению
равна 
.
7. Элементы дифференциального исчисления в л н п:дифференцируемость по Гато и Фреше. Дифференциал Фреше линейного непр функционала
ЛИНЕЙНЫМ МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ (ЛМП) называется линейное пространство, в котором каким-либо способом введена метрика, инвариантная относительно сдвига, т.е.
.
НОРМИРОВАННЫМ ПРОСТРАНСТВОМ называется линейное пространство, в котором каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число – норма элемента
Определение 4. Если в точке функционал имеет первую вариацию , которая является линейным и непрерывным по переменной функционалом, то говорят, что в этой точке функционал является слабо дифференцируемым или дифференцируемым по Гато. При этом функционал называют дифференциалом Гато или слабым дифференциалом.
Определение 5.
Пусть приращение функционала
,
заданного в ЛНМП
,
при переходе от точки
в точку
можно представить в виде
,
где
– линейный и непрерывный по
функционал, а
– функционал, удовлетворяющий равенству
.
Тогда говорят, что в точке функционал является сильно дифференцируемым или дифференцируемым по Фреше. При этом функционал называют дифференциалом Фреше или сильным дифференциалом.
При этом если функционал является сильно дифференцируемым, то дифференциал Фреше определён однозначно.
