5Формализованные задачи вариационного исчисления. Пространство : норма, метрика, близость элементов. Классификация экстремумов.

ПРОСТРАНСТВОМ принято называть множество элементов произвольной природы, в котором тем или иным способом введено понятие предела последовательности его элементов.

МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ называется множество элементов произвольной природы, если каждой паре его элементов и поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число , удовлетворяющее трем условиям:

1 (аксиома тождества).

2 (аксиома симметрии).

3 (неравенство треугольника).

При этом число называют метрическим расстоянием (или просто расстоянием) от элемента до элемента , а элементы пространства – точками. Перечисленные в определении условия принято называть аксиомами метрики.

ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ (над полем вещественных чисел) называется множество элементов произвольной природы, если выполнены следующие условия:

5. задано правило, в соответствии с которым любым двум элементам поставлен в соответствие третий элемент , который обозначают и называют суммой;

6. задано правило, в соответствии с которым любому элементу и любому действительному числу поставлен в соответствие элемент , именуемый произведением на действительное число;

7. выполняется свойство коммутативности для любых ;

8. операция суммирования обладает ассоциативным свойством ;

3. существует нулевой элемент такой, что для любого справедливо равенство ;

4. существует противоположный элемент такой, что для любого справедливо равенство ;

5. имеют место ассоциативное свойство для любых и , а также дистрибутивное свойство и ;

6. выполняется условие для любого .

норма функции неотрицательное число – норма элемента, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам нормы):

1. .

2. для любого .

3.  для любых

Определение: кривые близки в смысле близости к-го порядка, если малы модули разностей

, здесь

Определение: Приращением или вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями При этом предполагается, что меняется произвольно в некотором классе функций.

Определение: приращением ;

Предположим, что приращение функционала можно представить в виде где - линейный по отношению к функционал, а

Определение: Величина , т.е. главная, линейная по отношению к часть приращения функционала называется вариацией функционала и обозначается

Определение.  Функцию будем называть точкой глобального (абсолютного) экстремума функционала на множестве , если справедливо . (минимума)

Определение: Максимум или минимум функционала называется сильным, если он достигается по отношению ко всем кривым, близким к кривой в смысле близости нулевого порядка. Если же максимум или минимум достигается по отношению к кривым, близким к в смыле близости первого порядка, то он называется слабым. Если на кривой достигается сильный экстремум, то достигается и слабый.

Определение .  Точку будем называть точкой условного экстремума функционала на множестве , если справедливо .