3.2. Самосопряженные (эрмитовы) операторы.

Самосопряженные операторы.

Если динамическая переменная, которой сопоставлен оператор , представляет собой физическую величину, непосредственно измеряемую (“наблюдаемую”), то она является вещественной функцией, поэтому все результаты измерения величины , а, следовательно, и средние значения также являются вещественными, каково бы ни было динамическое состояние системы, т.е. какой бы ни была волновая функция .

Действительно, при измерении физической величины , могут быть реализованы следующие ситуации:

1) пусть физическая система (частица) в данный момент времени находится в состоянии, описываемом собственной функцией , тогда точное измерение величины с достоверностью приведет к значению

;

2) пусть физическая система (частица) находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией , которая в соответствии с принципом суперпозиции должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций , которые соответствуют могущим быть обнаруженными с отличной от нуля вероятностью значениям при измерении, произведенном над системой.

.

Тогда произведенное измерение величины даст в результате одно из собственных значений , которое, разумеется, тоже вещественно.

3)

…………

Это обстоятельство накладывает определенное ограничение на возможный вид (свойства соответствующих) операторов, а именно: ( ).

Иначе говоря, оператор должен быть эрмитовым, или самосопряженным.

Операторы, соответствующие наблюдаемым (измеряемым) физическим величинам определяются равенством:

, (3.2.1)

где оператор, сопряженный оператору . Самосопряженные операторы

То есть, если

, (3.2.2)

то этот оператор называется самосопряженным или эрмитовым оператором.

Анализируя равенство (3.2.1), можно сказать, что действие оператора на стоящую справа от него функцию , совпадает с действием комплексно сопряженного ему оператора на стоящую слева от оператора функцию :

(3.2.3)

---------------------------------

Примечание: понятие транспонированного оператора определяется из соотношения

, (3.2.4)

т.е. оператор, который дает тот же результат, действуя на левую функцию, как и , действуя на правую. Таким образом, сопряженный оператор – это комплексно сопряженный оператор от транспонированного оператора:

(3.2.5)

------------------------------------

Примеры.

1. Оператор координаты - эрмитов оператор.

2. Рассмотрим оператор дифференцирования (будем считать, что волновые функции равны 0 на бесконечности при ). Вычислим сопряженный оператор:

………………..

Таким образом и оператор не является эрмитовым.

3) Оператор импульса - самосопряженный:

………………………

2. Собственные функции и собственные значения самосопряженных операторов.

1). Собственные значения эрмитовых операторов - вещественны.

Действительно,

и (3.2.6)

и получаем, что собственные значения эрмитовых операторов вещественны:

(3.2.7)

2) Произведение двух эрмитовых коммутирующих операторов есть эрмитов оператор

(3.2.8)

3. Важное свойство: пусть имеем дискретный набор собственных значений и собственных функций оператора (считаем, что нет вырождения, т.е. волновые функции все разные для разных ):

(3.2.9)

Такой набор волновых функций образует, так называемую, полную систему ортонормированных волновых функций:

(3.2.10)

В самом деле, рассмотрим два равенства

…………………..

Вывод: условие ортонормированности собственных функций линейных самосопряженных операторов выполняется всегда. При наличии вырождения можно заменить собственные функции их ортонормированными линейными комбинациями.

4). Разложение в ряд по системе собственных функций линейных самосопряженных операторов.

Любую функцию можно представить

.................

5). Вычисление средних значений.

Поскольку - вероятность найти частицу в элементе объема dV, то можно определить средние значения.

..................