2) Групповая скорость.

Групповая скорость – измеряемая величина.

(В разделе “Оптика” § Фазовая и групповая скорость определена из условия постоянства фазы амплитуды огибающей при сложении двух волн с близкими частотами).

Из определения получаем – скорость движения частицы.

Действительно, ,

или .

Итак, групповая скорость волн де-Бройля равна скорости движения частицы.

Интересно, что .

Полученный результат весьма привлекателен, в частности, велико искушение попытаться интерпретировать материальную частицу как волновой пакет, образованный в результате суперпозиции группы волн. И действительно, на основании соотношения в течение некоторого времени частицу было принято считать образованием группы волн де-Бройля. Т.е. полагали, что волны первичны, а частицы представляют собой их образования – волновые пакеты. Однако оказалось, что все не так просто. Эта весьма заманчивая интерпретация наталкивается на непреодолимые трудности.

а) Такого рода волновой пакет, вообще говоря, неустойчив и очень скоро расплывется, т.к. волны де-Бройля испытывают дисперсию в пустоте в силу зависимости фазовой скорости от длины волны, т.е. . В то же время мы знаем, что частицы живут весьма долго.

б) Частица-волна должна испытывать дифракцию. Поэтому с помощью дифракционной решетки можно разложить волновой пакет на составляющие, что снова приведет к уничтожению частицы.

3) Волны де-Бройля и стационарные орбиты.

Согласно постулатам Бора условие квантования круговых орбит: . Отсюда получаем , т.е. . Это означает, что на круговой орбите укладывается целое число волн де-Бройля. Таким образом, имеется красивая интерпретация стационарных состояний – стоячая волна де-Бройля, которая, как известно, энергию не переносит (не излучает).

3. Экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля.

Ввиду смелости и необычности гипотезы де-Бройля о волновой природе вещества сразу же возникает естественный вопрос: можно ли и если да, то каким именно образом проверить эту гипотезу экспериментально? Понятно, что самое яркое свойство волн – возможность испытывать интерференцию и дифракцию, где наблюдаемой величиной, по сути, является длина волны.

Такие опыты были проведены сначала с электронами, а затем с нейтронами и атомами.

Сделаем некоторые оценки, позволяющие определить порядок длин волн с которым мы встретимся, имея дело с электронными пучками.

Рассмотрим сначала нерелятивистский случай.

Пусть электроны, ускоряемые электрическим полем, проходят разность потенциалов . Тогда скорость электрона находим из условия , а его импульс: . Длина волны де-Бройля такого электрона равна , если длина волны измеряется в ангстремах, а напряжение – в вольтах. Оценки показывают, что при ускоряющих напряжениях от единиц вольт до киловольт де-бройлевская длина волны электрона приблизительно такая же, как у мягкого рентгеновского излучения. При длина волны электрона соответствует уже жесткому рентгену. Т.о., для наблюдения дифракции электронов, как и в случае рентгеновских лучей, можно использовать решетку кристалла.

Примечание.

Учитывать релятивистский характер движения электронов необходимо, начиная со значений ускоряющих напряжений .

;

.

Де-бройлевские длины волн электрона для различных ускоряющих напряжений приведены в таблице.

1 10 10² 10³ 4^.10⁴ 10⁵ 10⁶

12,25 3,9 1,22 0,39 0,061 0,039 0,012

0,059 0,037 0,008

1. Опыты Дэвиссона и Джермера.

В 1927 г. К.Дэвиссон (1881-1958 гг.) и Л.Джермер (1896-1971 гг.) [Davisson C.J., Germer L.H., Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel, Phys.Rev. 30, 705 (1927)] исследовали отражение электронов от монокристалла никеля.

Опыты, приведшие к открытию дифракции электронов были начаты Дэвиссоном ещё в 1919 г. Однако первые результаты не увязывались с наличием волновых свойств у микрочастиц.

Н а то, что электроны, обладающие подобно пучкам света волновыми

свойствами, рассеиваясь на подходящей решетке, должны дать

дифракционную картину, первым обратил внимание Элзассер в 1925 г.

Решетка кристалла “работает” аналогично дифракционной решетке:

отраженные от кристаллических плоскостей волны материи образуют

в результате суперпозиции дифракционную картину точно также, как

вторичные волны от щелей дифракционной решетки.

В своем историческом опыте Дэвиссон и Джермер использовали

метод Брэгга: узкий пучок электронов, имеющих одинаковую

скорость (моноэнергетических), направлялся на поверхность

монокристалла никеля, обладающего кубической симметрией.

Кристалл был сошлифован вдоль кристаллографической плоскости

с миллеровскими индексами (111), т.е. перпендикулярно большой

диагонали кристаллической ячейки.

Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, соединенным с гальванометром. Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. При нормальном к поверхности кристалла падении пучка максимум интенсивности наблюдался под углом , наиболее значительный при .

На диаграммах приведена зависимость интенсивности отраженного пучка от угла отражения для различных значений ускоряющего напряжения. Вертикальная ось определяет направление падающего пучка. Сила тока в гальванометре пропорциональна длине отрезка, проведенного из начала координат до пересечения с кривой.

Если кристалл рассматривать как совокупность параллельных атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии , то дифракцию можно рассматривать как результат отражения пучка от системы таких плоскостей. Положение максимумов интенсивности (дифракционных максимумов) определяется условием Брэгга-Вульфа:

(*) , где угол скольжения; 1, 2, 3,…

Так как , то, подставляя в (*), получаем , .

Из последнего выражения видно, что дифракцию можно наблюдать двумя способами:

1.При постоянном ускоряющем напряжении (и, соответственно ) изменять угол , поворачивая либо кристалл, либо коллектор.

2.Проводить измерения при , изменяя разность потенциалов и, следовательно, де-бройлевскую длину волны электрона.

Полученная при фиксированном угле скольжения зависимость имеет несколько максимумов, соответствующих различным значениям .

Если на этом рисунке отложить вычисленные по формуле (**) значения , получим систематическое

отклонение рассчетных значений от эмпирических при

малых (теория дает равноотстоящие максимумы, т.к.

).

В связи с этим Г.Бете предложил электронным

волнам, как и электромагнитным, приписать показатель

преломления: , или через отношение

фазовых скоростей .

В вакууме: ,

(в нерелятивистском приближении ).

В металле:

,

где - глубина потенциальной ямы, в которую попадает

электрон, проникая в металл.

Если ввести потенциалы, то можно записать

,

где внутренний потенциал металла, а кинетическая энергия

электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , равна .

Тогда

.

Отсюда получаем, что относительный показатель преломления среды равен

, .

Разность хода интерферирующих лучей получаем

и з рассмотрения простой геометрической задачи.

; ;

; ;

.

С учетом преломляющих свойств кристалла условие Брэгга-Вульфа принимает вид , или окончательно

.

Введение показателя преломления среды при описании распространения волн де-Бройля позволяет достичь полного согласия с экспериментом (в пределах точности эксперимента).