Тождественные преобразования выражений

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе основных свойств действий над числами. Тождественное преобразование выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

• чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

• если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;

• если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую степень (причём показатели корня и степени должны обязательно быть целыми числами) и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Количество величин, входящих в алгебраическое выражение должно быть конечным.

ТПВ с переменными – одна из основных задач элементарной алгебры, результаты решения которой служат средством изучения уравнений и неравенств, рационализации вычислений. Основными понятиями данной содержательно – методической линии являются понятия: «выражение», «тождественно равные выражения», «тождество» и «ТПВ». Выражением в математике называют запись, состоящую из чисел, букв (обозначающих постоянные или переменные величины), знаков математических действий. В числовых множествах имеют дело с числовыми выражениями.

Выражения делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Те и другие могут быть, как целыми, так и дробными.

Алгебраические целые – это одночлены и многочлены первой, второй и высших степеней, а также, к алгебраическим относятся иррациональные выражения. К трансцендентным относятся тригонометрические, показательные и логарифмические.

Для каждого вида выражения существуют подвиды и простейшие (стандартные) виды.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных и образуют область определения выражения. Два выражения называются тождественно равными, если они принимают одинаковые числовые значения при подстановке соответственно равных числовых значений входящих в них букв из общей области определения.

Культура выполнения тождественных преобразований заключается в следующем:

1. Наличие прочных знаний, свойств, операций над выражениями и алгоритмов их выполнения.

2. Умение правильно обосновать преобразование.

3. Умение найти кратчайший путь перехода от исходного выражения к выражению наиболее соответствующего цели преобразования.

4. Умение проследить за изменением области определения выражения по цепочки их тождественных преобразований.

5. Быстрота и безошибочность выполнения преобразований.