Билет 10

10.1.Електростатичне поле з центральною та циліндричною симетрією. Поле нескінченої зарядженої площини.

а)Поле бесконечнойравномернозаряженнойплоскости. Пустьплоскость, заряженаравномерно с поверхностнойплотностьюзарядаσ(заряд dq, распределенный наединичнойплощадиповерхностиds). Изсоображенийсимметрииможноувидеть

,что вектор электрического поля перпендикуляренплоскости, т.е. E n ||n–единичный

вектор нормали к плоскости ) В качествеповерхности, через которуюсосчитаемпоток вектора напряженностиэлектрического поля, выбираемцилиндрическуюповерхность. Поперечноесечениеэтойповерхностиестьпрямоугольник.Посколькунапряженностьэлектрического поля вверх или вниз от плоскостиодинакова, а поток через боковуюповерхностьравен 0 (из-за того, чтоскалярноепроизведение

E и dS=0получаем:

Сокращая на элементповерхностиdS, получаем поле от равномернозаряженнойплоскости: (CГC) (СИ)

б) Поле бесконечногоравномернозаряженногоцилиндра (нити).Пустьимеемравномернозаряженную нить (илицилиндр) с

линейнойплотностьюзарядаλ (заряд на единицудлиныdq/dl). В силу симметрии вектор напряженностиэлектрического поля направленрадиально, т.е. перпендикулярно к

оси нити. Следовательно, для определениявеличиныэлектрического поля какфункциирасстояния от нити удобновыбратьцилиндрическуюповерхностьпроизвольногорадиуса r с осьюсовпадающей с осью нити. Поток вектора напряженностиE через торцыцилиндрической поверхности=0), в силу перпендикулярностивекторовE и dS

В интеграле по полнойповерхностиостаетсяпоток вектора E только через боковуюповерхностьцилиндра.

Последний в силу параллельности E и dSлегкоможетбытьсосчитан. Из рис. видно, что поле имеетодинаковую величину на одном и том расстоянии от оси r. Итак, используя теорему Гаусса, имеем:E*2πrh=4λгде h - длинавыбраннойцилиндрическойповерхности. Тогдаполучаемэлектрическое поле, создаваемоебесконечной, равномернозаряженнойнитью на расстоянии r от оси нити:E=2 λ/rвидно, что поле убываетмедленнее с увеличениемрасстояния от нити, чем в случаеточечногозаряда.

Есливместо нити имеембесконечнодлинныйцилиндррадиуса R, поверхностькоторогозаряжена споверхностнойплотностьюзарядаσ(а внутриегообъемныхзарядовнет), то для напряженностиэлектрического поля получаем:

В)Поле равномерно заряженного шара радиуса R.Пусть имеем шар радиуса R, заряженный равномерно по всему объему с плотностью заряда ρ. Из соображений симметрии электрическоеполе направлено радиально Сначала находим поле вне шара. Для этого окружаем шар сферой радиуса r>Rи находим поток вектора напряженности электрического поля, который по теореме Гаусса равен полному заряду внутри сферы: Откуда вне шара получаем поле, совпадающее с полем точечного

заряда: Для определения поля внутри шара выбираем соответствующую

поверхность: сферу внутри шара r<R . Тогда по теореме Гаусса получаем соотношение Получаем поле внутри равномерно заряженного шара: Видно, что электрическое поле пропорционально радиусу. Соотношение легко записать в векторном виде, поскольку поле внутри шара направлено по радиусу:

2.скин-эффектЯвление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую среду.Переменное во времени электрическое поле и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены в основном в относительно тонком приповерхностном слое (так называемом скин-слое). Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компенсирует внешнее поле в объеме проводника (скин-эффект появляется у металлов, в плазме, ионосфере, вырожденных полупроводниках и других средах с достаточно большой проводимостью) .Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости, частоты электромагнитного поля и от состояния поверхности образца. На малых частотах толщина скин-слоя достаточно велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длиной волны (столь малым проникновением электромагнитного поля и почти полным его отражением объясняется металлический блеск хороших проводников). Например, толщина скин-слоя для медного проводника при частоте электромагнитного поля в 50 Гц (стандартная частота для «городского» тока) составляет примерно 1 см, при частоте 5 кГц – примерно 0.1 см, а при частоте 0.5 МГц – примерно 10 мкм.

Иногда имеют место ситуации, когда длина свободного пробега электронов превышает толщину скин-слоя, в этом случае говорят об аномальном скин-эффекте (он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых металлах при низкой температуре) – при таком эффекте рассеяние электронов на поверхности образца мало сказывается на толщине скин-слоя (здесь существенную роль играют электроны с малыми углами скольжения, для которых отражение близко к зеркальному).

При достаточно высоких значениях напряженности переменного электромагнитного поля, когда параметры среды, например проводимость, начинают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е. толщина скин-слоя также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля (наиболее легко нелинейный скин-эффект реализуется в плазме). Пороговые значения амплитуд электромагнитного поля, при которых происходит переход скин-эффекта в нелинейный, зависят от параметров среды и частот.