11.2. Дифференцирование переменного вектора. Свойства векторной производной.

В полярных координатах переменной величиной является радиус вектор. Рассмотрим операцию векторного дифференцирования.

Рис.11.2

Пусть имеем переменный вектор а, изменяющийся с течением времени по определенному закону . Пусть в моменты времени t, t₁, t₂, t₃ и т.д. значения данного переменного вектора а, а₁, а₂, а₃ и т.д. (рис.11.2) Геометрическое место концов этих векторов называется годографом этого вектора. Например, годографом радиуса вектора r движущейся точки М является траектория этой точки.

Рассмотрим теперь два близких момента времени t и t+Δt. Значения переменного вектора в эти моменты будут и . Соединив точки годографа А и А', из треугольника ОАА' получим:

или

Следовательно, вектор представляет собой приращение данного вектора а за время Δt. Если обозначим разность через , то .

Разделив вектор на приращение аргумента Δt, получим новый вектор , направленный по хорде АА' годографа и равный по модулю отношению длины этой хорды к Δt:

Переходя к пределу при Δt→0: предел отношения при Δt→0 называется производной от вектора а по аргументу t и обозначается :

Пусть вектор в пределе займет положение , тогда . Так как точка А' в пределе совпадает с точкой А, то прямая АВ превращается в касательную к годографу. Следовательно, вектор направлен по касательной к годографу вектора а.

Производная от данного вектора представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора.

Свойства векторной производной:

1. Если а=const, то

2. 

3. 

4. 

5. 

Разлагая вектор а по трем координатным осям, получим:

В этом равенстве координатные орты представляют собой постоянные векторы, так как их модуль и направление с течением времени не изменяются. Проекции вектора а изменяются с течением времени по определенному закону и являются некоторыми скалярными функциями:

, и

Дифференцируя векторное равенство, получим6

Это равенство представляет собой формулу разложения производной по координатным осям. Так как в формуле разложения по координатным осям скалярные коэффициенты при координатных ортах являются проекциями этого вектора на соответствующие оси, то из полученной формулы следует:

, ,

Проекция производной данного вектора на неподвижную ось равна производной от проекции этого вектора на туже ось.

11.3. Скорость точки в криволинейном движении

Скорость точки в криволинейном движении представляет собой векторную величину, характеризующую для каждого данного момента быстроту движения точки и направление этого движения.

Пусть точка М описывает данную криволинейную траекторию, двигаясь по закону , где дуговая координата этой точки (рис.11.3)

Пусть в момент времени t движущаяся точка занимает положение М на траектории. Пусть через малый промежуток времени Δt (в момент t+ Δt) та же точка занимает положение М'. Тогда или .

Вектор называется средней скоростью точки за время Δt. Обозначим скорость точки . При приближении Δt к нулю, в пределе направление вектора совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, а модуль его будет равен .

Пусть вектор, представляющий предел при Δt→0, изображается вектором . Предел средней скорости при Δt→0 называется скоростью движущейся точки в момент времени t.

Если обозначим эту скорость через , то

Для модуля скорости имеем:

Предел отношения бесконечно малой дуги к стягивающей ее хорде равен 1. Поэтому , следовательно,

Если производная положительная, то с увеличением t величина s возрастает, следовательно, точка движется в положительном направлении по траектории; если эта производная отрицательная, то точка движется по траектории в отрицательном направлении. В последнем случае при определении модуля скорости производную надо брать по абсолютному значению.

Скорость направлена по касательной к траектории, и равна по модулю абсолютному значению производной от дуговой координаты движущейся точки по времени.

Рис.11.4.