
- •11.1 Уравнения движения точки
- •11.2. Дифференцирование переменного вектора. Свойства векторной производной.
- •11.3. Скорость точки в криволинейном движении
- •11.4. Ускорение точки в криволинейном движении
- •11.5. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •11.6. Понятие о кривизне кривой линии и о радиусе кривизны. Естественные оси
Лекция 11 Криволинейное движение точки
11.1 Уравнения движения точки
Пусть точка М движется по заданной криволинейной траектории (рис.11.1).
Для
того чтобы однозначно определить
движение точки в данном случае,
недостаточно знать ее траекторию,
необходимо определить ее положение в
любой момент времени. Выберем произвольно
на данной траектории неподвижную точку
О и будем определять положение движущейся
точки М на траектории ее расстоянием
от точки О, отсчитываемым по этой
траектории, т.е. длиной дуги ОМ = s. Однако
величиной дуги s положение точки М не
определяется однозначно, так как мы
можем выбрать разные направления
движения и, следовательно, каждому
значению s будут соответствовать два
положения точки М на траектории. Для
устранения этой двойственности установим
на данной траектории направление отсчета
дуг s и будем считать величину s
алгебраической: если направление
перемещения точки по траектории из
положение О в положение М совпадает с
выбранным положительным направлением
отсчета дуг, то длину дуги
будем считать положительной, в противном
случае эту длину будем считать
отрицательной. Алгебраическую величину
s будем называть дуговой
координатой точки
М.
Так
как в каждый момент времени точка М
занимает вполне определенное положение
на траектории, то каждому данному
значению t соответствует единственное
значение s. Другими словами, при движении
точки ее дуговая координата s является
функцией (однозначной и непрерывной)
от времени t, т.е.
(1)
Это равенство называется законом движения или уравнением движения точки по данной траектории. Если известны траектория точки и закон ее движения по этой траектории , то движение точки вполне определено.
Другой кинематический способ определения криволинейного движения заключается в том, что положение движущейся точки в пространстве определяют ее тремя декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы осей. При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени:
(2)
Эти
уравнения называются уравнениями
движения точки в декартовых координатах.
Ели функции
,
и
известны, то положение точки в пространстве
для каждого момента времени полностью
определено. Исключая время из этих
уравнений, получим два соотношения
между координатами, которые определяют
линию, описываемую в пространстве
движущейся точкой, т.е. ее траекторию.
Если
движущаяся точка остается все время
движения в одной и той же плоскости, то,
приняв эту плоскость за координатную
Оху, будем иметь только два уравнения
движения:
и
(3)
Итак, криволинейное движение точки может быть определено двумя способами:
Известны траектория и закон движения ее по этой траектории, т.е. уравнение (1);
Известны уравнения движения точки в декартовых координатах, т.е. уравнения (2) или (3).
Для определения положения движущейся точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами. Уравнения, выражающие полярные координаты в функциях времени, имеют вид:
где φ – полярный угол, r – радиус вектор. Они называются уравнениями движения в полярных координатах. Исключив из этих уравнений время t, получим уравнение траектории точки в полярных координатах.