2.4.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор

Умножить вектор Р на положительный скалярный множитель λ – это значит построить новый вектор Р₁, модуль которого равен λР и который имеет тоже направление, что и вектор Р: (2.6)

Если множитель λ отрицателен, то направление вектора Р₁ будет противоположно направлению вектора Р, а модуль вектора Р₁ в этом случае будет равен , где обозначает абсолютную величину множителя λ. Таким образом, два вектора Р и всегда параллельны или расположены на одной прямой. Такие векторы называются коллинеарными.

Если λ>0, то параллельные векторы Р₁ и Р направлены в одну сторону и образуют с положительным направлением оси х один и тот же угол α. Откуда:

Аналогично получим: и . Из полученных равенств следует:

(2.7)

Т.е. проекции параллельных векторов на координатные оси пропорциональны. Соотношение (2.6) равносильно трем скалярным соотношениям (2.7)

Вектор, направление которого совпадает с направлением данного вектора Р и модуль которого равен единице, называется единичным вектором Р⁰=1 данного вектора Р. Между этими векторами существует зависимость (2.8)

Вектор можно представить в виде произведения его модуля на его единичный вектор.

2.5. Разложение вектора по координатным осям

Пусть имеем вектор . Построим в точке А систему прямоугольных координат Ахуz. Чтобы разложить вектор Р по направлениям осей, нужно построить на этих осях параллелепипед, для которого АВ является диагональю рис2.10.

Рис.2.10

Векторы называются составляющими данного вектора Р по координатным осям. Обозначив составляющие через , получим:

(2.9)

Следует обратить внимание на различие между составляющими данного вектора по координатным осям и проекциями этого вектора на оси: проекция вектора на ось величина скалярная, а составляющая данного вектора есть также вектор.

Построим единичные векторы, направленные по координатным осям, направленные в положительную сторону. Эти векторы называются единичными координатными векторами (ортами) и обозначаются буквами i, j, k. Задавая векторы i, j, k, мы определяем направления осей выбранной системы координат.

На основании равенства (2.8) можно записать:

, и (2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9) получим:

(2.11)

(2.11) называется формулой разложения вектора Р по координатным осям. В формуле разложения вектора по координатным осям скалярные коэффициенты при ортах i, j, k представляют собой проекции этого вектора на эти оси.

2.6. Аналитический способ сложения сил

Правило силового многоугольника позволяет геометрическим построением определить модуль и направление равнодействующей данной системы сходящихся сил. Аналитическое решение этой задачи основано на применении метода проекций и базируется на теореме о проекции равнодействующей силы на ось:

Проекция равнодействующей на какую либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.

Пусть для данных сил построен силовой многоугольник и пусть (рис.2.11). Спроектируем все силы на данную ось х. Для чего проведем через начало и конец каждой силы плоскости, перпендикулярные к оси х. Пусть эти плоскости пересекают ось х в точках а, b, с и d.

Рис.2.11

Тогда получим

Сложив эти равенства, получим:

Возьмем систему сходящихся сил, заданных своими проекциями на координатные оси. Обозначим эти проекции соответствующими заглавными буквами:

Требуется определить модуль и направление равнодействующей. Обозначив искомую равнодействующую через R и ее проекции через , согласно теореме о проекции равнодействующей получим:

Величина R определяется по формуле (2.3):

(2.13)

Чтобы определить направление равнодействующей, нужно найти ее углы с координатными осями. Обозначив эти углы через α,β,γ на основании формулы (2.5) получим:

Равенства (2.13) и (2.14) представляют собой формулы для определения модуля и направления равнодействующей по заданным проекциям составляющих сил.

Из равенства (2.11) и (2.12) следует, что формула разложения равнодействующей по координатным осям имеет следующий вид:

После того как найдены модуль и направление равнодействующей сходящихся сил, можно найти и линию действия равнодействующей. Для этого надо составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения линий действия данных сил и имеющей направление их равнодействующей. По правилам аналитической геометрии получаем это уравнение в виде:

В формуле разложения вектора по координатным осям (2.15) коэффициенты при i, j, k представляют собой проекции этого вектора на соответствующие оси, следовательно, из равенства (2.15) находим, что

Проекция суммы данных векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

11