3. Получение импульсной характеристики на основе дифференциальных уравнений

Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал

Хотя им­пульсная ха­рак­тери­стика в ряде слу­чаев зада­ется непо­сред­ст­венно, важно уметь опре­де­лять ее по опи­сы­ваю­щему сис­тему диф­фе­рен­ци­аль­ному урав­не­нию. По­этому рас­смот­рим урав­нение

(1.5.1)

Так как система не воз­буж­дена при t < 0, то у= 0 при t<0. В связи с тем, что возму­щаю­щая функ­ция U₀(t) отлична от нуля лишь при t = 0, об­щее реше­ние при t > 0 совпа­дает со вспомо­гатель­ным реше­нием

у=К₁у₁+К₂у₂+...+К_nу_n (1.5.2)

Для вычисления n произвольных постоянных нужно знать n начальных условий. Для систем с постоянными параметрами, у которых коэффициенты а_i - постоянные величины, начальные условия находятся непосредственно по этим коэффициен­там. В момент времени t=0 n-я производная решения в отличие от производных низ­шего порядка содержит мгновенный импульс. Только в этом случае удовлетворяется уравнение (1.5.1) при t=0. Если одна из низших производных содержала бы мгновенный импульс, то dⁿy/dtⁿ содержала бы специальную функцию более высокого порядка. Так как в действительности a_n (dⁿy/dtⁿ) содержит единичный мгновенный импульс при t=0, d^n-1y/dt^n-1 должна претерпевать скачок от 0 до 1/а_n в момент t=0, а все остальные производные в начальный момент должны быть непрерывными.

n -начальных условий должны иметь вид

y(0+)= (0+)=...=y^n-2(0+)=0, y^n-1(0+)=1/a_n (1.5.3)

система с постоянными параметрами описывается уравнением (1.1.1)

A(p)y(t)=B(p)v(t)=F(t) (1.5.4)

Если коэффициенты b_i отличны от нуля, описанная выше процедура должна быть видоизменена. При v(t) =U₀(t) правая часть уравнения (1.5.4) содержит специальные функции различного порядка. Один из удобных подходов предполагает, что для малых неотрицательных зна­чений времени y(t) может быть разложена в ряд Тейлора

. Изло­женный выше подход нельзя непосредственно распространить на нестационарные системы, для которых операторы А и В являются функциями времени:

A(p, t)y(t)=B(p, t)v(t)=F(t). (1.5.5)

Как для стационарных, так и нестационарных систем справедлив метод, не­посредственно связанный с уравнениями (1.4.19) - (1.4.22). Для систем без упреждения при рав­ном нулю входном сигнале при t < 0 реакция на произвольный входной сигнал описывается уравнением:

(1.5.6)

Отметим сходство этого уравнения с уравнениями (1.4.20) - (1.44.22). Так как y_i(t) не зависят от z, a F(z) и W(z) не зависят от i, уравнение (14.22) можно переписать в виде

(1.5.7)

где y_i- n независимых решений однородного дифференциального уравнения. Выражение в скобках известно как однородная функция Грина.

(1.5.8)

Тогда

(1.5.9)

Прежде всего сравним уравнения (1.5.6) и (1.5.9) при F(t)=v(t), что соответствует

В(р, t)=1. Тогда

h(t, λ) = g(t, λ) при 0 < λ < 1,

h(t, λ) = 0 при t < λ.

Конечно, W_ni(z)/a_n(z)W(z) соответствует в этом случае надлежащим значениям произвольных постоянных в импульсной характеристики. Функция Грина обла­дает рядом полезных свойств. Множители в уравнении (1.5.8) можно записать не­посредственно в виде определителей на основе уравнения (1.4.18):

(1.5.10)

(1.5.11)

В общем случае F(t)≠v(t), и функция Грина не совпадает с импульсной характеристикой. Пусть теперь единственным ограничением в урав­нении (1.5.5) будет m<n,

F(t)=B(p, t)v(t)=[ b_m(t)p^m+... + b_l(t)p + b₀(t)]v(t), (1.5.12)

где p — d/dt. Урав­нение (1.5.9) можно ис­поль­зовать для опре­деле­ния им­пульсной ха­рак­тери­стики при из­вест­ной функции Грина.

Если v(t)=U₀(t-λ), то y(t)=h(t, λ),

(1.5.13)

здесь р = d/dz. Урав­нение (1.5.13) ис­поль­зуется только для нахож­дения им­пульс­ной харак­тери­стики на ин­тервале 0 <λ< t. При этом подын­те­граль­ное выра­жение от­лично от нуля лишь при z=λ, в связи с чем пре­делы ин­тег­риро­вания можно из­ме­нить на -∞ и +∞. Дан­ное урав­нение не явля­ется на­столько сложным, как это ка­жется на пер­вый взгляд. Со­став­ляю­щие В(р, z) U₀(z- λ) имеют вид:

Таким образом, уравнение (1.5.8) позволяет получить h(t, λ)=g(t, λ) при 0<λ<t и F(t)= v(t). В этом случае h(t, λ) определяется согласно уравнению (1.5.13). Указанное уравнение составляет общий метод нахождения импульсной характеристики по линейному дифференци­альному уравнению. Принципиальное ограничение состоит в том, что не сущест­вует общего метода для определения решений у₁,..., у_n однородного дифференци­ального уравнения с переменными коэффициентами.