1. Классическая модель описания систем

Классическим методом описания линейной системы считается записанная при помощи дифференциального или разност­ного уравнения связь между ее входом и выходом. Дифферен­циальное уравнение применяется для описания непрерывных систем, а уравнение в конечных разностях — для дискретных систем.

1. Представление непрерывных систем в виде дифференциальных уравнений

Непрерывную систему часто описывают дифференциальным уравнением относи­тельно ее выхода y(t) и входа r(t). В общем виде уравнение представляется так:

(1.1.1)

Предполагая, что входной сигнал v (t) известен, правую часть уравнения можно представить как F(t), назы­ваемую часто вы­нуждающей функцией,

(1.1.2)

Для линейных систем а_i и b_i не являются функциями v или у но могут зависеть от вре­мени t.

Для линейных систем с постоянными параметрами эти коэффициенты должны быть постоянными.

Дифференциальное уравнение системы может быть задано или должно быть найдено на основе модели системы, в последнем случае модель дает непосредственно систему дифференциальных уравнений.

Оператор р, называемый оператором Хэвисайда, обозначает количество операцию дифференцирования и определяется как

При помощи оператора р уравнения (1.1.1) и (1.1.2) приводятся к виду

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = b_mp^m +…+ b₁p + b₀)v(t) = F(t)

стоящие в скобках перед у и v элементы сами являются операторами.

Для стационарных систем, коэффициенты которых постоянны, последнее выражение записывается символически как

A(p)y(t) = B(p)v(t) = F(t). (1.1.3)

Для линейных систем с переменными параметрами, коэффициенты которых являются функциями времени, А и В - зависящие от времени операторы. Это учитывается выражением

A(p, t)y(t) = B(p, t)v(t) = F(t) (1.1.4)

1.2 Преобразование систем дифференциальных уравнений

Непрерывная модель может быть описана математически системой дифференциальных уравнений. Один класс уравнений служит главным образом для характеристики отдельных составляющих, а другой - для описания связей между этими составляющими. При математическом описании мо­дели указанные два типа уравнений обычно сочетаются с эксперименталь­ной проверкой. Полученная система уравнений может быть затем сведена к одному уравнению, связывающему вход и выход системы, хотя подобное преобразование не всегда элементарно.

Для простоты рассмотрим в качестве примера систему с переменными коэффициентами, состоящую только из одного дифференциального уравнения.

В схеме на рис. 1 сопротивление возрастает со временем по линейному закону, а индуктивность остается постоянной. Пусть в качестве внешнего возмущения выступает напряжение на входе v(t), a x(t)—ток в цепи.

Согласно законам Кирхгофа и Ома, уравнение, описывающее систему, имеет вид

_{, соответствующий (1.1.4). Если увеличить число контуров, то возрастет и порядок системы}

3. Основные свойства линейных дифференциальных уравнений.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в форме:

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = F(t). (1.3.1)

В связи с тем, что все выражения справедливы как для систем с постоянными, так и с переменными параметрами, коэффициенты а_i могут быть в общем случае функциями времени t. Если правая часть последнего уравнение равна тождественно нулю, т. е.

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = 0. (1.3.2)

то такое уравнение называют однородным. Уравнение (11) называют соответственно неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (1.3.2) может иметь не более, чем n линейно независимых решений, n объектов называются линейно зависимыми, если по крайней мере один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. В противном случае объекты считаются независимыми. Необходимое и достаточное ус­ловие линейной независимости n решений уравнения (1.3.1) состоит в отличии от нуля определителя Вронского. Если у₁, у₂,... у_n - n решений уравнения, то определитель Врон­ского имеет вид

(1.3.3)

Общее решение уравнения (1.3.1) представляется как

y_н = K₁y₁ + K₂y₂ +…+ K_ny_n, (1.3.4)

где K_i — произвольные постоянные. Индекс Н указывает на то, что решение соответствует однородному уравнению.

Из последнего уравнения следует, что если известны n независимых решений, то произвольное решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинация n известных решений. Для систем с постоянными параметрами существует общий метод

нахождения независимых решений однородного уравнения. Для систем с переменными параметрами такого метода, к сожалению, не существует.

Общее решение неоднородного уравнения (1.3.1) имеет вид У=У_н+У_p, где у_н — решение (1.3.4) соответствующего однородного уравнения, у_р - произвольное решение (вне зависимости оттого, каким образом оно получено), удовлетворяющее уравнению (1.3.1) и обычно называемое частным решением неоднородного уравнения, у_н называют вспомогательным решением. Для нахождения у_р приемлем любой способ, даже «метод проб». Так как у_р не содержит произвольных постоянных, то в решении у, как и в у_н, содержится n постоянных.