Завдання для перевірки знань

1. Скориставшись властивостями визначників, обчислити:

а) ; б) ; .

Відповідь. а) 0; б) 0; в) 0.

2. Скориставшись властивостями визначників, довести тотожності:

а) ;

б) ;

в) .

3. Розклавши визначник за рядком або стовпцем, що складається лише з букв, обчислити:

а) ; б) ; в) .

Відповідь. а) ; б) ; в) .

4. Обчислити визначники:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Відповідь. а) 90; б) 27; в) 52; г) 10; д) 100.

5. Розв’язати за правилом Крамера системи рівнянь:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Відповідь. а) , , , ; б) , , ; в) , , , ; г) , , , .

6. Побудувати всі можливі мінори другого порядку визначника:

а) ; б) .

Скільки таких мінорів?

Завдання для самостійної роботи: № 3(в); 4(в); 5(в); 6

Практичне заняття № 2 Матриці План

1. Освоєння дій з матрицями.

2. Побудова оберненої матриці.

3. Розв’язування систем рівнянь за допомогою оберненої матриці.

4. Відшукання рангу матриці.

Термінологічний словник ключових понять

Невироджена матриця — квадратна матриця, визначник якої відмінний від нуля.

Ранг матриці — найвищий порядок відмінного від нуля мінора матриці.

Навчальні завдання

1. Знайти , якщо , .

Добуток можна утворити, оскільки матриця має роз­мір , а матриця — розмір . Матриця матиме розмір . Щоб знайти С₁₁, утворимо алгебраїчну суму добутків елементів першого рядка матриці А на елементи першого стовпця матриці В: . Аналогічно:

, ; .

Отже, .

Утворити — неможливо.

2.  , . Перевірити самостійно, що .

3. Побудувати матрицю, обернену до матриці .

• Обчислимо:

. — обернена матриця існує.

, , , , , ,

, , .

.

Переконаємося, що матриця А^–1, побудована нами, справді є оберненою до матриці А. Знайдемо :

.

4. Розв’язати систему рівнянь

методом оберненої матриці.

• Запишемо систему в матричному вигляді де

, , .

Для матриці А обернену ми побудували в попередньому прикладі, тому за формулою (1.7) маємо:

.

Отже, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = –1 — розв’язок системи.

5. Розв’язати матричне рівняння де

; , .

• Щоб побудувати А^-–1, знайдемо . Оскільки , , , , маємо: . За формулою (1.7) визначаємо . Отже, шукана матриця .

6. Знайти ранг матриці А методом обвідних мінорів, якщо

.

Мінор другого порядку, який міститься в лівому верхньому куті цієї матриці, дорівнює нулю:

.

Проте матриця А має й відмінні від нуля мінори другого порядку, наприклад

.

Далі запишемо мінор третього порядку, який обводить відмінний від нуля мінор другого порядку:

Утворимо тепер обвідні мінори четвертого порядку для мінора третього порядку. Їх існує лише два:

Обидва вони дорівнюють нулю, а це означає, що ранг початкової матриці дорівнює трьом.

7. За допомогою елементарних перетворень знайти ранг матриці

.

Виконаємо спочатку елементарні перетворення матриці.

1. Поміняємо місцями перший і другий стовпці:

. (1.7)

2. За аналогією до того, як під час обчислення визначників утворювали нулі в рядках або стовпцях, утворимо нулі в першому стовпці. З цією метою всі елементи першого рядка спочатку помножимо на –4 і додамо до другого рядка, потім — на –1 і додамо до третього рядка і нарешті помножимо на 2 і додамо до четвертого рядка. У результаті дістанемо матрицю, яку в (1.7) записано другою. Помноживши тепер елементи першого стовпця послідовно на –2, –1, –3 і виконавши відповідне додавання, дістанемо останню матрицю в ланцюжку перетворень (1.7).

3. Помноживши другий рядок здобутої матриці на , третій — на , четвертий — на , дістанемо:

.

Виконаємо знову елементарні перетворення, аналогічні наведеним у п. 2, але візьмемо другий рядок і другий стовпець матриці.

З остаточного вигляду матриці після виконання елементарних перетворень випливає, що її ранг дорівнює 2, оскільки єдиний мінор другого порядку не дорівнює нулю: . Решта мінорів вищого порядку дорівнюють нулю.