3.5 Оформление отчета в отчете должны быть представлены все выполненные расчеты, аккуратно выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получен5.4 Приложения тройных интегралов

Пространственная область G ограничена поверхностями, указанными в условии задачи.  Г(x,y,z) - объемная плотность области G.  Для этой области требуется найти:  1. V - объем;  2. M - массу;  3. M_yz, M_xz, M_xy - статические моменты относительно плоскостей Oyz, Oxz и Oxy соответственно;  4. X_c, Y_c, Z_c - координаты центра масс;  5. I_z -момент инерции относительно оси Oz.

Типовой расчет состоит из двух задач.

Задача 1. Границы области G: x 2 + y 2 − z 2 = − 1 2 ,     z = 2 ,     y ≤ 0  Поверхностная плотность этой области задана функцией Γ ( x ,  y ,  z ) = 7 ⁢ z 

Задача 2. Границы области G: x 2 + y 2 + z 2 = 3 2 ,     z ≥ 0 ,     x ≥ 0  Поверхностная плотность этой области задана функцией Γ ( x ,  y ,  z ) = 4 ⁢ ( x 2 + y 2 + z 2 )       

5. ы с тремя значащими цифрами.

4 Приложения тройных интегралов

4.1 Теоретическое введение

Рассмотрим приложения тройного интеграла к решению ряда геометрических задач и задач механики.

4.1.1 Вычисление площади и массы пространственного тела

Пусть в трехмерном пространстве Oxyz дано материальное тело G.  Объем V этого тела может быть найден с помощью тройного интеграла по формуле:

V =  dV

(1)

Вычислим массу m тела объема V, считая, что плотность в каждой точке тела есть заданная непрерывная функция координат точки P, т.е. γ = γ(x;y;z).  Пусть в каждой точке тела G задана его объемная плотность γ = γ(x;y;z). Будем считать, что функция γ = γ(x;y;z) непрерывна в области G. Тогда масса m этого тела равна тройному интегралу от функции плотности γ = γ(x;y;z) по области G:

m =   γ(x, y, z) dV

(2)

4.1.2 Статические моменты. Центр масс пространственного тела

Статическим моментом M_xy материальной точки массы m относительно плоскости Оху называется произведение массы точки на ее координату z: M_xy = mz. Аналогично определяются статические моменты M_yz иM_xz соответственно относительно плоскостей Oyz и Oxz: M_yz = mx, ­ ­ M_xz = my.  Статические моменты пространственного тела, плотность которого равна γ(x,y,z), где γ(x,y,z) – непрерывная функция, относительно плоскости Оху вычисляется по формуле:

Mxy =  zγ(x, y, z) dV

(3)

Аналогично, для статических моментов тела G относительно плоскостей Oyz и Oxz получим:

Myz =  xγ(x, y, z) dV

(4)

Mxz =  yγ(x, y, z) dV

(5)

Координаты x_c , y_c , z_c центра масс тела G определяются равенствами:

(6)

где m – масса тела G, которую можно найти по формуле (2). Тогда из формул (3) – (6) получим:

(7)

4.1.3 Момент инерции пространственного тела

Момент инерции I_z материальной точки массы m относительно оси Oz равен произведению массы этой точки на квадрат её расстояния до оси Oz. Так как квадрат расстояния точки P(x, y, z) до оси Oz равен x² + y², то I_z = (x² + y²) · m. Аналогично определяют моменты инерции относительно осей Ох и Оу.  Пусть дано тело G, плотность которого задана непрерывной функцией γ(x, y, z). Момент инерции этого тела относительно оси Oz может быть найден по формуле:

Jz =  (x2 + y2) γ(x, y, z) dV

(8)

Аналогично находятся моменты инерции J_x и J_y :

Jx =  (y2 + z2) γ(x, y, z) dV, ­ ­ ­ ­ ­ ­ Jy =  (x2 + y2) γ(x, y, z) dV

(9)