5. Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Можно сказать, что динамика ряда включает три компоненты:

• долговременное движение (так называемый тренд);

• кратковременное систематическое движение (например, сезон­ные колебания);

• несистематическое случайное движение, вызывающее колеба­ния уровней относительно тренда.

Существует несколько методов обработки рядов динамики, по­могающих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов

Простейший метод сглаживания уровней ряда — укрупнение интервалов, для которых определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда относятся к ко­ротким промежуткам времени.

Метод скользящей средней

По сути метод скользящей средней несколько схож с предыду­щим, но в данном случае фактические уровни заменяются сред­ними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных (скользящих) укрупненных интервалов, охваты­вающих т уровней ряда.

Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов т, но удобнее, если т — нечетное число, т. к. в этом случае скользящая средняя сразу относится к кон­кретной временной точке — середине (центру) интервала. Если же т — четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временными точками: например, при сглаживании по че­тырем членам средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей датой, следующая средняя –– между третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтобы сглаженные уровни отно­сились непосредственно к конкретным временным точкам (да­там), из каждой пары смежных промежуточных значений сколь­зящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определенной дате (периоду). Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием.

Недостатком метода скользящей средней является то, что сгла­женный ряд «укорачивается» по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном т на (т — 1)/2 с каждого конца, а при четном — на т/2 с каждого конца.

Аналитическое выравнивание

Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда –– выравни­вание уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитичес­кое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключа­ется в замене эмпирических (фактических) уровней у_i теоретиче­скими у_t, которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические ровни рассматриваются как функция времени: y_t = f(t).

При этом каждый фактический уровень y_t рассматривается как cумма двух составляющих: у_i =f(t) +ξ_t, где f(t)=y_t — систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением, а ξ_t — случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

• определение на основе фактических данных вида (формы) ги­потетической функции y_t = f(t), способной наиболее адекват­но отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

• нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

• расчет по найденному уравнению теоретических (выравнен­ных) уровней.

В аналитическом выравнивании наиболее часто используются следующие простейшие функции:

• линейная (прямая):

• показательная:

• гиперболическая:

• парабола 2-го (или более высокого) порядка:

• ряд Фурье:

Здесь у_t — теоретические (выравненные) уровни (читается: «игрек, выравненный по t»), t — условное обозначение времени (1, 2, 3, ...), а₀, a₁, а₂ — параметры аналитической функции, k — число гармоник (при выравнивании по ряду Фурье).

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динами­ки осуществляется, как правило, на основании графического изо­бражения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явле­ния) и специфики разных функций, их возможности отразить те или иные нюансы развития. Определенную вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приемы сглаживания (укрупнение интервалов и метод скользя­щей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную мо­дель (уравнение) для аналитического выравнивания.