Основные показатели изменения уровней ряда

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровней во времени, для рядов динамики рассчитывают такие показатели, как:

• абсолютные приросты (изменения) уровней;

• темпы роста;

• темпы прироста (снижения) уровней.

Абсолютный прирост (абсолютное изменение) уровней рассчитывается как разность между двумя уровнями ряда. Он показывает, на сколько (в единицах измерения показателей ряда) уровень одного периода больше или меньше уровня какого-либо предше­ствующего периода, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «—» (при уменьшении уровней).

В зависимости от базы сравнения абсолютные приросты могут рассчитываться как цепные и как базисные.

Вычитая из каждого уровня предыдущий (А_ц = у_i— y_i-1), полу­чаем абсолютные изменения уровней ряда за отдельные периоды как цепные. Вычитая из каждого уровня начальный (А_б = у_i –– у₀), получаем накопленные итоги прироста (изменения) показателя с начала изучаемого периода, т.е. абсолютные изменения рассчи­тываются как базисные.

Если значения цепных абсолютных приростов (изменений) по­стоянны, то уровни ряда изменяются равномерно. Если же абсо­лютные приросты от периода к периоду возрастают (или убывают), то уровни изменяются ускоренно (или замедленно). В этом случае можно рассчитать показатель ускорения как разность между двумя смежными цепными абсолютными приростами:

А_y= А_i — А_i-1.

Наряду с абсолютными изменениями уровней ряда важно из­мерить также их относительное изменение.

Темп роста (изменения) Т– относительный показатель, рас­считываемый как процентное отношение двух уровней ряда (Т_рц= y_i / y_i-1*100 %, Т_рб= y_i / y₀ * 100 %) .

Темпы роста как относительные величины могут выражаться в виде коэффициентов, т.е. простого кратного отношения (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц). Чаще всего, говоря о темпах, имеют в виду отношение уровней в процентах.

Выраженные в коэффициентах темпы роста показывают, во сколько раз уровень данного периода больше уровня базы срав­нения или какую часть его составляет. При процентном выра­жении темп роста показывает, сколько процентов составляет уровень данного периода от уровня базы сравнения.

В зависимости от базы сравнения коэффициенты роста (k) могут рассчитываться как цепные, когда каждый уровень сопо­ставляется с уровнем предыдущего периода (k_pц = y_i / y_i-1), и как базисные, когда все уровни сопоставляются с уровнем одного ка­кого-то периода, принятого за базу сравнения (часто это началь­ный уровень ряда: k_pб = y_i /у₀).

Между цепными и базисными коэффициентами роста сущест­вует связь, позволяющая при необходимости переходить от цеп­ных к базисным и наоборот, в частности:

• произведение цепных коэффициентов роста равно базисному;

• результат деления двух базисных коэффициентов равен цеп­ному (промежуточному).

Темп прироста (снижения) Т — относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Показа­тель Т можно рассчитать двояко:

• путем вычитания 100 % из темпа роста (снижения), т.е. Т_пр = Т_р — 100%;

• как процентное отношение абсолютного прироста к тому уров­ню, по сравнению с которым рассчитан абсолютный прирост, т. е.

Т_{пр ц}= y_i / y_i-1 * 100 % — 100, Т_{пр б}= y_i / y₀ * 100 % —100.

Иногда для анализа рассчитывается такой показатель, как абсолютное значение 1 % прироста  — отношение абсолютного прироста уровня к темпу прироста (за соответствующий период):

Отношение темпов роста (или прироста) по двум динамичес­ким рядам (в одинаковые отрезки времени) называют коэффици­ентом опережения.

Исчисление средних показателей в рядах динамики

Обобщенной характеристикой динамического ряда может слу­жить прежде всего средний уровень ряда у. Поскольку средняя ве­личина в данном случае рассчитывается из меняющихся во вре­мени показателей, то она называется средней хронологической.

Так, в интервальном ряду абсолютных величин с равны­ми периодами (интервалами) средний уровень рассчитывается как средняя арифметическая простая из уровней ряда:

где у_i — отдельные уровни ряда; п — число уровней.

Несколько по-иному рассчитывается средний уровень для моментных рядов. Например, если имеется моментный ряд, со­держащий п уровней (у₁, y₂, ..., у_п) с равными промежутками между датами (моментами), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчи­тана как полусумма значений у на начало и конец периода:

Количество таких средних будет (n — 1).

Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уро­вень рассчитывается по средней арифметической. Следователь­но, можно записать

После преобразования числителя получаем

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов.

Средний абсолютный прирост (изменение) уровней рассчиты­вается как средняя арифметическая простая из отдель­ных цепных приростов, т.е.

или на основе накопленного абсолютного прироста за п периодов:

Наиболее часто средний темп роста рассчитывается как сред­няя геометрическая из цепных темпов роста, т.е. рассчи­танных в каждый период по отношению к предыдущему.

Если выражать темп роста в процентах, то

Используя выражение , получаем формулу для расчета среднего коэффициента роста:

Таким образом, если средний темп (коэффициент) роста ори­ентирован на достижение определенного конечного уровня, ис­пользуются следующие формулы:

где k_{i / (i-1)} — цепные коэффициенты роста;

п — число коэффициентов (или число периодов (лет, меся­цев), за которые определяется средний коэффициент);

П — знак произведения;

y₀ и y_n — соответственно начальный (базисный) и конечный абсолютные уровни.

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста путем вычитания из последних 100 %: