Средние величины

Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

В статистике используются различные виды (формы) средних величин. Наиболее часто применяются следующие средние вели­чины:

• средняя арифметическая;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• средняя квадратическая.

• Средняя арифметическая — самый распространенный вид сред­ней величины. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая.

• Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле

• 

• а средняя арифметическая взвешенная — по формуле

• 

• где х_i — вариант;

• f_i — частота, или статистический вес варианта.

• Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины:

• 1/х_1, 1/х₂, …, 1/х_n .

• Формула средней гармонической простой такова:

• 

• Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

• 

• где V_i — веса для обратных значений х_i .

• Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

• Для вычисления средней геометрической про­стой используем формулу:

• 

• Если использовать частоты, то получим формулу средней гео­метрической взвешенной:

• 

• Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариа­ция признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметичес­кой, либо от заданной нормы.

• Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой:

• 

• для сгруппированных данных — формулу средней квадра­тической взвешенной:

• 

• Средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга:

• 

• Это так называемое правило мажорантности средних, которое впервые сформулировал профессор А.Я. Боярский.

Понятие о вариационных рядах

Вариацией признака называется наличие различий в численных его значениях у отдельных единиц совокупности.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными.

Дискретный ряд распределения можно рассматривать как преобразование ранжированного (упорядоченного) ряда, при котором перечисляются отдельные значения признака и указывается их частота.

Любое распределение можно охарактеризовать с помощью на­копленных частот. Накопленная частота показывает число еди­ниц совокупности, у которых значение варианта не больше дан­ного.

Если вместо абсолютных частот использовать частости, то ана­логично получим накопленные частости.

Абсолютная плотность распределения — это частота, приходящаяся на единицу длины интервала, т.е. m_i / h_i, а относительная плотность распределения — частость, приходящаяся на единицу длины интервала, т.е. w_i / h_i, где h_i — длина i -го ин­тервала.

Мода

Мода — это значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду. Во многих случаях эта величина наиболее характерна для ряда распределения и вокруг нее концентрируется большая часть вариантов.

Значение моды внутри модального интервала определяется по интерполя­ционной формуле

_{где xk –1 — нижняя граница модального интервала;}

_{hk — длина модального интервала;}

m_{k –1}, m_k, m_k+1 — частота интервала, соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Для ряда с неравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей плотности распределения. Строго говоря, мода – это значение признака, которому соответствует максимальная плотность распределения. Поэтому в формуле мод вместо частот m_{k –1}, m_k, m_k+1 следует взять плотности распределения y_{k –1}, y_k, y_k+1.

В этом случае значение моды

Графически моду определяют по гистограмме распределения.