Волновое уравнение в гидрогазодинамике.
Среда описывается параметрами:
-
плотность;
-
давление;
-
скорость.
Уравнение состояния жидкости в неподвижной Эйлеровой СО определяется уравнением:
,
где
– 2 закон Ньютона
–
уравнение
непрерывности сплошной среды.
Предположим
S
– энтропия.
Если S=const то P=f().
Имеем 4 уравнения:
, 
, 
, 
Будем считать, что волновой процесс связан с малыми изменениями параметров сплошной среды, т.е. в линейном приближении
P0, U0, 0 – стационарные параметры среды.
;
Разложим P=f()в ряд Тейлора в окрестности точки P0 и ограничимся приближением первого порядка малости.
=>
,
где
Рассмотрим
Исходное
уравнение имеет вид:
-
волновое уравнение в сплошной среде.
-
волновое уравнение относительно
изменения U
и P.
В сплошной среде:
=>
Нетривиальным
решением является:
- звуковой потенциал в акустике.
, 
, 
=>
-
волновое уравнение в акустике.
Рассмотрим
v2:
;
-
уравнение состояния сплошной среды в
адиабатическом приближении.
-
фазовая скорость.
В линейном приближении фазовая скорость определяется постоянными величинами.
Плоские волны в гидрогазодинамике.
Будем считать, что в сплошной среде распространяется только прямая волна.
;
;
В
случае выделенного направления
распространения волны
,
где
,
– модуль скорости.
, 
Тогда
-
волновое сопротивление или импеданс в
акустике.
Если существует 2 волны – прямая и обратная:
- аналог длинных
линий.
Волны, для которых параметры среды (фазовая скорость, волновое сопротивление) зависят только от постоянных величин, называются простыми.
В линейной недиссипативной среде простые волны распространяются без изменения формы.
Уравнения Максвелла.
- закон ЭМ индукции
Фарадея
-
закон Ампера для полного тока
-
электрический закон Гаусса -
магнитный закон Гаусса
-
плотность тока проводимости.
В не очень сильных полях удовлетворяется закон Ома.
iстор – плотность тока, возбуждающего ЭМВ.
-
плотность магнитного тока смещения.
-
плотность электрического тока смещения.
- объемная плотность заряда.
1 и 2 уравнения независимы. 3 и 4 получаются из первых 2.
К этим уравнениям добавляются уравнение непрерывности тока.
,
где
Для решения уравнений Максвелла для конкретной среды необходимо математическое уравнение, устанавливающее зависимость между индукциями и напряженностью полей.
Атомы
и молекулы вещества, под действием
электрического поля могут быть
поляризованы. Свойства поляризованной
среды определяются вектором поляризованности
P.
Вектор электрического смещения или индукции определяется следующим образом.
,
где
-
абсолютная диэлектрическая проницаемость
вакуума или электрическая постоянная.
В
не очень сильных электрических полях
Xэ – диэлектрическая восприимчивость среды.
Намагниченные тела представляют собой частный случай тел, переносящих электрические заряды, в которых система диполей имеет преимущественную ориентацию осей. Магнитные свойства среды определяются вектором намагниченности, или магнитным моментом единицы объема.
Вектор
магнитной индукции или магнитного
смещения имеет следующий вид:
,
где
0 – абсолютная магнитная проницаемость вакуума, или магнитная постоянная.
В
не очень сильных магнитных полях
Xм – магнитная восприимчивость среды.
,
-
абсолютная диэлектрическая проницаемость
среды.
,
- абсолютная магнитная проницаемость
среды.
Тогда
к уравнениям Максвелла надо присоединить:
и
- материальные уравнения для линейной
изотропной среды.
Линейной называется среда, для которой связь между индукциями и напряженностями полей линейна.
Среда называется изотропной, в случае если электрические параметры среды (диэлектрическая, магнитная проницаемость и показатель преломления) не зависит от напряженности вхождения в среду ЭМВ.
Анизотропными называются среды, электрические свойства которых зависят от напряженности распространения в ней волны. Различают гироэлектрическую и гиромагнитную анизотропные среды.
Для гироэлектрической среды диэлектрическая проницаемость является тензорной величиной, а магнитная проницаемость - скалярной. Примерами гироэлектричной среды являются: электронная плазма, находящаяся в постоянном магнитном поле; кристаллооптическое вещество и т.д.
Для гиромагнитной среды магнитная проницаемость является тензорной величиной, а диэлектрическая проницаемость - скалярной. Примерами гиромагнитной среды является: пирит, помещенный в постоянное магнитное поле.
Для гироэлектричной среды:
,
,
Для
гиромагнитной среды:
,
;
Интегральная форма уравнений Максвелла.
Размерность величин:
