1. Пусть серединные перпендикуляры kk1 и nn1 пересекаются в точке о. Соединим точку о с вершинами треугольника авс.

2. По характерному свойству серединного перпендикуляра ОА = ОВ, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре KK1; и OВ = OС, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре NN1. Следовательно, ОA = ОB = OC.

3. Если ОA = OC, то точка О равноудалена от концов отрезка АС и лежит на серединном перпендикуляре РР1.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех его вершин и является центром описанной окружности.

Билет 11

Опр1. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Элементы треугольника:

1) вершины: А, В, C; Вершины треугольника – это общие точки двух соседних сторон треугольника.

2) стороны: АВ, ВC, АС; Стороны – это отрезки, из которых составлен треугольник.

3) углы:  А,  В,  C. Углы треугольника - углы, образованные соседними сторонами треугольника.

Обозначение треугольника: ∆ АВС.

Классификация треугольников.

По величине углов:

1) остроугольные – все углы меньше 90;

2) прямоугольные – один угол равен 90, два других острые;

3) тупоугольные – один угол больше 90 (тупой), два других острые.

По сравнительной величине сторон:

1) равносторонние – все стороны равны;

2) равнобедренные – две стороны равны между собой (боковые), третья отличается по длине (основание);

3) разносторонние – все стороны разной длины.

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

Опр1. Треугольник называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в треугольник, если все стороны треугольника лежат на касательных к окружности.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая явл-ся центром вписанной окружности.

Д ано:  АВС;

АА1, ВВ1, СС1 - биссектрисы.

Доказать: АА1 ∩ ВВ1 = {O}; АА1 ∩ СС1 = {O}.

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы аа1 и вв1 пересекаются в точке о. Построим из точки о перпендикуляры ok, on и op к сторонам ав, вс и ас треугольника.

2. По характерному свойству биссектрисы ОК = ОР, так как точка О лежит на биссектрисе АА1; и OK = ON, так как точка О лежит на биссектрисе ВВ1. Следовательно, ОК = ОР = ON.

3. Если ОР = ON, то точка О равноудалена от сторон угла С и лежит на биссектрисе СС1.

Вывод: Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон и является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром.

Билет 12

Аксиома существования треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Пусть имеется ∆АВС и луч а. Переместим ∆АВС так, чтобы вершина А совместилась с началом луча а, вершина С попала на луч а, а вершина В оказалась в заданной полуплоскости от луча а и его продолжения. Вершины треугольника в новом положении обозначим А1, В1 и С1. ∆ АВС = ∆ А1В1С1.

Требования к доказательству теорем.

Формулировка теоремы:

условие, заключение,

дано требуется доказать

Чертеж – геометр запись, того, что выражаем словами

Док-во: строгое рассуждение, основанное на аксиомах, определениях, ранее доказ теорем.

Алгоритм решения задач на построение состоит из четырех частей:

1). Анализ задачи Отыскание способа решения, составление плана решения.

2). Выполнение построения по намеченному плану.

3). Синтез. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4). Исследование выяснить сколько решений имеет задача, при любых ли данных задача имеет решение или не имеет решений.

Построение треугольника по трем данным сторонам:

1). С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку C.

2). От точки С на прямой р с помощью циркуля отложим отрезок СВ, равный а.

3). Из точки С радиусом, равным b, проводим дугу.

4). Из точки В радиусом, равным с, проводим дугу.

5). Точка пересечения дуг – точка А.

 АВС – искомый, так как имеет стороны, равные a, b, c.

Построение биссектрисы данного угла:

1). Циркулем из вершины угла А проводим дугу произвольного радиуса до пересечения со сторонами угла в точках В и С.

2). Из точек В и С проводим дуги одинакового радиуса до пересечения в точке D.

3). Из точки A через точку D проводим луч AD.

Докажем, что CAD = BAD.

В ACD и ABD:

AD – общая;

AB = AC – по построению;

CD = BD – по построению.

ACD = ABD (по третьему признаку).

CAD = BAD.

AD – биссектриса.

Билет 13

Классификация треугольников по сравнительной величине сторон:

1) равносторонние – все стороны равны;

2) равнобедренные – две стороны равны между собой, третья отличается по длине;

3) разносторонние – все стороны разной длины.

В равнобедренном треугольнике стороны имеют свои названия. Равные стороны в треугольнике называются боковыми, а третья сторона – основанием.

Теоремой, обратной данной теореме, называется такая, в которой условием поставлено заключение (или часть заключения), а заключением – условие (или часть условия) данной теоремы.

Не всякая теорема имеет обратную.

Примеры: Прямая теорема. Если два угла вертикальные, то они равны. Верно. Обратная теорема. Если углы равны, то они вертикальные. Неверно.

Теорема 1.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Д ано: ∆АВС; АВ = ВС. BD – биссектриса.

Доказать: BD – медиана, BD – высота.

Доказательство:

Рассмотрим ABD = BCD.

2. Из ∆ABD = ∆CBD  AD = DC 

AD – медиана по определению.

3. Из ∆ABD = ∆CBD  ADВ = ВDC.