Матрицы. Основные определения. Симметричная, диагональная, единичная, треугольная матрицы.
Определение 1. Прямоугольная
таблица чисел вида
называется
прямоугольной матрицей размера
,
где m - количество строк, а n -
количество столбцов.
Определение 2. Числа, которые образуют
матрицу, - называются элементами
матрицы.
Определение 3. Числа i и j
называются индексами элемента aij,
i показывает, в какой строке расположен
данный элемент, а j - в каком столбце
находится этот элемент.
Две матрицы считаются равными, если
равны их соответствующие элементы.
Если m=n, то матрица называется квадратной (квадратичной) матрицей порядка n.
Симметричная матрица – квадратичная матрица, в которой равны ее элементы симметричны относительно главной диагонали.
Квадратичная матрица называется диагональной, если все ее элементы не принадлежащие главной диагонали равны 0
Единичной называется диагональная матрица у которой все элементы главной диагонали равны 1
Квадратичная матрица называется треугольной, если все ее элементы расположены по одну сторону от главной диагонали равны 0
2. Действия над матрицами. Транспонирование. Сложение и умножение на число.
Умножение матриц. Свойства действий над матрицами.
Транспонированием матрицы называется замена каждой строки матрицы столбцом с тем же номером.
Складывать можно матрицы одного размера:Сij=Aij+Bij
Умножение на число:
A{aij}n*m L –действительное число, C={cij} n*m
Cij=L*aij
Умножение матриц:
Умножение возможно лишь сцепленных матриц количество столбцов одной = количеству строк другой в результате умножения получается матрица, у которой столько строк сколько у первой и столбцов сколько у второй
Св-ва:
1.А+В=В+А (коммуникативность)
2.А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность)
3.А+0=А
4.(LB)A=L(BA), L,B принадлежат R
5. L(A+B)=LA+LB (дистрибутивность)
6.(L+B)A=LA+BA
7. A+(-A)=0
8.1*A=A 3. Определители. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.
Определитель — это квадратная таблица чисел или матиматических символов (Δd).
В каждой квадратичной матрицы 2-гопорядка можно поставить число называется его определители, которое вычисляется по правилу D= detA = a11*a22 – a21*a12
Квадратичная матрица 3го порядка можно поставить в соответствии число которое можно вычислить по правилу треугольника или по правилу Соруса
По правилу Соруса к определителю с права приставляют первые два столбца 4. Свойства определителей.
1 св-во определителя: при транспонирование значение определителя не меняется
2 св-во: если поменять местами 2 строки, то определитель меняет знак на противоположный.
3 св-во: определитель с 2мя одинаковыми строками или столбцами равен 0.
4 св-во: если все элименты какой-либо строки или столбца умножить на A, то значение определителя изменится в А раз.
5 св-во:если ко всем элементам строки или столбца прибавить соответствующий элемент другой строки или столбца умножить на одно и тоже число, то значение определителя не изменится.
6 св-во: если строка или столбец матрицы нулевая, то определитель равен 0.
5. Определители n-го порядка. Вычисление.
К каждой квадратичной матрице n-го порядка можно поставить число называемое определителем n-го порядка. Определитель n-го порядка А{aij} n*m называется число равное сумме n! произведений элементов матрице А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, при этом каждое произведение берется со знаком + или – 6. Обратная матрица.
Пусть А квадратная матрица n-го порядка, квадратная матрица А-1,называется обратной для матрицы А,если выполняется А*А-1=А-1 * А=I 7. Ранг матрицы.
Ранг матрицы – наивысший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля 8. Элементарные преобразования матрицы. Их свойства.
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. К элементарным преобразованиям относятся:
-перемена местами строк матриц
-умножение строки на какое либо число отличное от 0
-умножение какой-либо строки на число и прибавление к соответствующему элементу данной строки
-транспортирование