1.3 Математичне моделювання асинхронних двигунів

Моделювання АД можливо виконати на підставі рівнянь електричної рівноваги, записаних для реальних фаз статора (m₁) та ротора m₂. Але при цьому вносяться деякі загальновідомі припущення,  ротор вважається зведеним до статорної обмотки (m₂=m₁). Крім цього не враховуються процеси в шихтованих осердях статора і ротора.

Система рівнянь такого АД буде складатися з 14 рівнянь (6 рівнянь для струмів, 6 для потокозчеплень, рівняння електромагнітного момента, рівняння швидкості ). Тут  - електричний кут обертання ротора [2].

Така система рівнянь дуже трудомістка, високого порядку та має нелінійні диференційні рівняння з періодичними коефіцієнтами. Тому СДР трифазної АМ. Записана в реальних фазних струмах і потозчепленнях, підлягає перетворенням, завдяки яким спрощується та має постійні коефіцієнти.

Це перетворення стосується нової координатної системи, в якій записуються ДР уже для двофазної машини, що є еквівалентною трифазній реальній АМ.

Нові координатні осі мають позначення u, v, 0 та швидкість обертання в просторі відносно осі ротора _к, що є довільною величиною.

Після відповідних перетворень (див. теоретичний курс лекційного матеріалу) СДР електричної рівноваги має вигляд:

Якщо виразити відповідні струми і_u1; і_v1 та і_u2; і_v2 через потокозчеплення згідно з теоретичними положеннями ТОЕ, будемо мати (вводячи коефіцієнти):

Тут u_u1 – фазна напруга статора; u_v1 – те ж саме фази V; _u1; _v1 повні потокозчеплення фаз u i V статора; _u2; _v2 – та ж саме для ротора; _к – швидкість обортання осей фаз u i V ; _о – синхронна швидкість поля СД.

х_s=x_m+x₁; х_r=x_m+x₂,

тут х₁ (х₂) – реактивність розсіяння фаз статора (ротора), тепер маємо .

Примітка: параметри x_m; x₁ та x₂ можуть бути знайдені з еквівалентної заступної Т-подібної схеми АД. Для зручності аналізу перехідних режимів рівняння напруг нормалізують, тобто переводять запис в форму Коші:

До цих рівнянь додаються ще два: рівняння електромагнітного момента: [2]

та рівняння руху ротора (Даламбера)

Тепер можна скласти моделі на ПЕОМ.

1.4 Практичні рівняння математичних моделей ад

В теорії перехідних електромагнітних процесів ЕМ розглядають 3 системи координатних осей, які є частинними випадками розглянутої системи u, v, 0.

А. Перша система координатний осей нерухома відносно статора (система 0) _к=0. Така система використовується для розгляду та аналізу перехідних режимів пуску, регулювання швидкості або реверсу симетричних АД. Особливо корисна вона за наявності напівпровідникових регуляторів (напруги або частоти) в колах статора. Тоді система ДР повинна бути записана не через потокозчеплення, а через струми статора і_u1; і_v1 та ротора і_u2; і_v2 .

Формально система записується заміною індексів u; v на  та  відповідно, та присвоєнням _к=0.

Тепер маємо:

Величина напруги живлення фаз статора ₁ та ₁ u_1 і u_1 може бути знайдена з формул перетворення:

u_u1=U_mCos(₀-_k)t, або для _k=0 u_u1=u_1=U_mCos ₀t, а для  маємо:

u_v1=U_mSin(₀-_k)t, або для _k=0 u_v1=u_1=U_mSin ₀t, тут u_1 і u_1 є напруга мережі живлення стандартної частоти 50 гЦ.

В. Друга система оординатних осей нерухома відносно ротора (система ; q; 0; _k=). Ця система використовується для розгляду перехідних процесів явнополюсних синхронних машин та для аналізу перехідних режимів АД з несиметрією в колах ротора. Відповідно система ДР виглядає:

Відповідні напруги живлення фаз статора d₁; q₁; u_d1; u_q1 знаходяться аналогічно, а саме:

u_u1=U_mCos(₀-_k)t, або для _k= маємо:

u_d1=U_mCos(₀-_k)t, а також u_q1=U_mSin (₀-)t, тут напруги живлення статора мають частоту струмів ротора.

В. Третя система координатних осей обертається з синхронною швидкістю поля, тобто _k=₀ (х, у, 0).

Вона використовується для аналіза динамічних режимів АД з різними регуляторами в колах статора. Її перевага в тому що напруги живлення моделі: u_u1=u_х1; а u_v1 =u_у1 будуть постійними величинами (не залежними від часу), а саме:

u_u1=u_х1=U_mCos(_o-_k)t=U_m=const.

u_у1=u_х1=U_m.

Тепер СДР має вигляд:

Примітка: у всіх системах кругові частоти вимірюються в електричних радіанах.