3.3.4. Довірчий інтервал для дисперсії й середнього квадратичного відхилення нормального розподілу

Нехай кількісна ознака генеральної сукупності розподілена за нормальним законом і по вибірці об'єму визначені вибіркова середня , виправлена дисперсія й середнє квадратичне відхилення .

Випадкова величина

(3.19)

має – розподіл (розподіл Пірсона) із числом ступенів свободи k= п–1. Випадкова величина з – розподілом приймає тільки невід’ємні значення. По таблиці – розподілу можна знайти значення , що задовольняє наступну умову: .

Використовуючи таблицю – розподілу, знайдемо такі значення u₁ і u₂, які при заданій довірчій імовірності  задовольняють умову:

. (3.20)

Однак таких чисел нескінченно багато. Щоб зафіксувати одну таку пару й₁ і й₂, уведемо додаткову умову (симетричність по ймовірності):

. (3.21)

Значення й₂ знаходиться безпосередньо по таблиці – розподілу. Для знаходження й₁ використовуємо ймовірність протилежної події

. (3.22)

Замінивши у формулі (3.20) величину її виразом з формули (3.19) і виконавши перетворення, одержимо довірчий інтервал для дисперсії :

. (3.23)

Витягаючи квадратний корінь із всіх частин подвійної нерівності, що визначає довірчий інтервал для дисперсії , одержуємо довірчий інтервал для середнього квадратичного (стандартного) відхилення  нормального розподілу:

.

1 Бессель Фридрих Вільгельм (Bessel, Friedrich Wilhelm) (1784-1846) – німецький астроном та математик.

2 Стьюдент (Student) [псевдонім Уильяма Сілі Госсета (William Sealy Gosset)] – англійський математик та статистик. Один из засновників теорії статистичних оцінок і перевірки гіпотез.

3 Число ступенів свободи – це число експериментальних точок мінус число оцінюваних параметрів.