20. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Пусть задано скалярное поле функции ,

Поверхностью уровня данного скалярного поля называется поверхность, задаваемая уравнением

Скалярное поле может задаваться не только в пространстве, но и в области на плоскости. Линией уровня плоского скалярного поля называется кривая, находящаяся в области задания скалярной функции и задаваемая уравнением

Градиентом скалярного поля , , называется вектор-функция, заданная на A, и равная

С помощью градиента определяют производную функции по направлению. Если – единичный вектор направления, то Как известно, наибольшее изменение в фиксированной точке функция претерпевает в направлении градиента в этой точке.

Производная по направлению.

Производной функции двух переменных по направлению называется выражение

Производной функции трех переменных по направлению называется выражение

21. Векторное поле. Дивергенция, ротор и циркуляция.

Рассмотрим поле вектора ,

Векторной линией данного векторного поля называется линия, касательная к которой в любой точке параллельна вектору поля, определенному в этой точке. Выведем систему уравнений, связывающих дифференциалы векторных линий. Согласно определению вектор параллелен вектору . Следовательно, справедливы соотношения

, которые называются дифференциальными уравнениями векторных линий в пространстве.

Дивергенцией данного векторного поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами является скалярная величина

Циркуляцией вектора , , вдоль некоторой замкнутой ориентированной кривой C , находящейся внутри множества А, назовем следующий криволинейный интеграл второго рода:

Ротором вектора поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами назовем следующую векторную величину:

Здесь «умножение» элементов второй строки на элементы третьей строки означает, что от функции из третьей строки берется соответствующая производная.

Ротор иногда называют вихрем, он характеризует вращение поля в данной точке.

22.Оператор Гамильтона.

Для упрощения записи характеристик скалярных и векторных полей был введен символический векторный оператор, имеющий вид . Символическое «умножение» этого оператора на какую-то величину означает, что каждая из компонент оператора применяется к этой величине.

Например, если – скалярная величина, то

Для векторных величин возможно как скалярное, так и векторное умножение. Проследим, что дадут такие произведения с оператором в случае векторного поля .

Скалярное произведение: .

Векторное произведение:

Отдельный интерес представляет определенный для скалярных полей оператор

.

Такой оператор называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называются гармоническими в А функциями.