Уравнения, описывающие процессы в колебательном контуре.

Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь.

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии.

Полная электромагнитная энергия контура в любой момент времени:

W = Wэл + Wмаг

W = L	I2	+	q2
	2		2C

Т.к. энергия постоянна, то производная полной энергии по времени равна 0.

﴾	L I2	﴿`	+	﴾	q2	﴿`	= 0
	2				2C

﴾	L I2	﴿`	= -	﴾	q2	﴿`
	2				2C

Скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля. Знак «- » указывает на то, что когда энергия магнитного поля убывает, энергия электрического поля возрастает.

L	2 I I` = -	1	2 q q`
2		2C

q ` =	lim	∆ q	= I
	∆ t→ 0	t

L I` I = -	q I
	C

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени:

I ` = q``

q`` = -	1	q
	L C

(*)

- основное уравнение, описывающее электромагнитные колебания в контуре.

Итак, вторая производная по времени прямо пропорциональна самому заряду и противоположна по знаку.

Из курса математического анализа вам известно, что вторая производная синуса или косинуса пропорциональна самим функциям, взятым с противоположным знаком. Другие функции этим свойством не обладают.

Следовательно, электрический заряд (или ток) при свободных колебаниях меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Периодические изменения физической величины, в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебанием.

Решение уравнения (*) запишется в следующей форме:

q = qm cos √	1	t
	LC

√	1	= ω0
	LC

Если обозначить

q = q_m cos ω₀ t

тогда

q`` = - ω₀² q

q

O T/2

Т/4 t

T

T – период колебаний – минимальный промежуток времени, через который процесс полностью повторяется.

• 1	= υ
  Т

  частота колебаний
  
  

υ = 1 Гц (Герц)

• ω0 =	2π	= 2 π υ
  	Т

  циклическая (круговая) частота – это число колебаний за 2 π секунд.
  
  

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.

ω02 =	1
	LC

Т =	2π	= 2π √ LC
	ω0

- формула Томсона.