8. Дифракционная решётка.

Дифракционной решёткой называется оптический элемент пропускание или отражение которого изменяется по периодическому закону. Наиболее простой дифракционной решёткой (далее ДР.) является набор щелей расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

b-ширина щели; d=b+c-период ДР

Дифракционную картину от решётки можно найти двумя способами:

1.Решение интеграла, который описывает дифракцию Фраунгофера.

2.Сложением амплитуд поля, которые образуются в результате дифракции на

отдельных щелях. Тоесть дифракцыоная картина от решетки представляет

собой результат дифракции на каждой щели и интерференции волн от

различных щелей.

Амплитуда поля при дифракции от одной щели описывается (5.91):

V(φ_д) = V(0) (5.95)

β =

Определим разность хода и разность фаз между дифрагироваными волнами от соседних щелей.

∆ = АС = АВ∙sin_д = d∙sin_д (5.96)

δ = k∙∆ = (5.97)

Пусть дифрагированная световая волна (5.95) от нижней щели равна V₁≡(5.95), тогда амплитуда от соседней щели:

V₂=V₁∙e^-jδ

V₃=V₁∙e^-j2δ

V_N=V₁∙e^{-j (N-1)δ}

В результате интерференции этих волн образуется результирующие поле:

V_p = V₁+V₂+…+V_N = V₁(1+ e^-jδ + e^-j2δ +…+ e^{-j (N-1) δ})

Σ= , где a₁=1 a_N=e^{-j (N-1) δ} q=e^-jδ

V_p=V₁ =V_{1 e}^{-j (N-1)} (5.98)

Подставим (5.95) в (5.98):

V_P(φ_д) =V (0) ∙ (5.99)

Интенсивность в дифракционной картине:

I(φ_д)= │V(φ_д) │²=[V(0) ]² (5.100)

Проанализируем распределение интенсивности (5.100) при дифракции на ДР.

Из (5.96) следует, что при выполнении условия:

d sin = mλ (5.101)

Разность хода между соседними щелями равна mλ что вызывает сложение всех световых волн от каждой щели по фазе или к существенному увеличению интенсивности. В результате этого образуются интенсивные максимумы, а условие (5.101) называется условием главных максимумов.

Между главными максимумами расположены минимумы которые находятся из условия:

I ( ) = 0

Из (5.100):

= 0

sin (N ) = 0

N = nπ

С учетом (5.97): = nπ

d sin = λ

если = m, то минимум (5.102) превращается в главный максимум (5.101) это означает, что между двумя главными максимумами расположено N-1 минимумов и

N-2 вторичных максимумов.

Определим интенсивность света в главном максимуме, для которого выполняется условие (5.101). Для этого подставим (5.101) в (5.100):

I_m = ‌│V (0) │² ∙ ( ) ² [ ]²

[……] = = = N

β =

I_m = │V (0) │²( )²∙ N²

Из формул (5.100-5.103) следует, что:

1. Интенсивность главных максимумов пропорциональна квадрату числа щелей.

I_{m } N²

Поэтому для получения больших интенсивностей этих максимумов используют

с большим N.

2. С увеличением порядка дифракции m интенсивность главных максимумов уменьшается.

I_{m }

Поэтому дифракционные решетки используют при малых порядках m.

3. - целое число, то главный максимум равен нулю. Например, если в = с = ½ d

то все максимума равны нулю.

4. Из условия (5.101) следует, что положение m-ого максимума зависит от длины волны λ это означает, что дифракционная решетка способна разлагать белый свет на монохроматические составляющие.