2.6 Свойства дифференциала первого порядка

Из формулы для производной сложной функции следует свойство инвариантности (неизменности) первого дифференциала функции нескольких переменных. Данное свойство заключается в том, что формула для дифференциала первого порядка

верна вне зависимости от того, являются ли и независимыми переменными или функциями.

Пусть нам дана функция , причем и являются не независимыми переменными, а функциями двух переменных и ( , ). Тогда фактически представляет собой функцию двух переменных и ( ).

Из определения дифференциала имеем

►Используя формулу для производной сложной функции, получим

, .◄

►Используя формулу для дифференциала функции двух переменных, получим

, .◄

.

Получили, что формула для первого дифференциала верна в независимости от того, являются ли переменные и независимыми переменными или функциями.

Дифференциал функции нескольких переменных имеет те же свойства, что и дифференциал функции одной переменной.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

В качестве примера докажем свойство 5 (свойства 2-3 доказываются аналогично).

Пусть сначала и ‑ независимые переменные, тогда

.

Учитывая свойство инвариантности первого дифференциала, получаем, что записанная формула верна и вне зависимости являются ли и независимыми переменными или функциями.

2.7 Дифференцирование неявных функций

Пусть нам дано уравнение . Рассмотрим данное уравнение как уравнение с параметром и с неизвестной . Если мы будем менять значение параметра , то в общем случае будет меняться и решение (или решения) уравнения . Если каждому значению из некоторого промежутка будет отвечать единственное значение из некоторого промежутка , то будем говорить, что уравнение при и определяет неявную функцию .

Например, уравнение задает функцию . Здесь легко выразить через . Однако, как правило, выразить через или очень трудно, или вообще невозможно.

Если нам требуется найти , то нет необходимости предварительно выражать через . Достаточно использовать формулу для производной неявной функции.

Пусть является дифференцируемой функцией. Найдем полную производную от обеих частей равенства , считая функцией от и используя формулу для полной производной сложной функции.

Получим:

, , .

Таким образом, получили формулу для производной неявной функции

.

Уравнение может задавать неявную функцию двух переменных . В данном случае, используя формулу для частной производной сложной функции, получим формулу для частной производной неявной функции

.

Задача. Дано уравнение . Найти значение частной производной неявной функции в точке .

Решение.

Используя формулу для частной производной неявной функции, получим

.

Найдем значение частной производной в точке

.

2.8 Применение дифференциала в приближенных вычислениях

2.8.1. Вычисление значений функций

Как известно при малых и приращение дифференцируемой функции примерно равно ее дифференциалу, тогда

,

.

Полученную формулу можно применять в приближенных вычислениях.

Задача. Вычислить приближенно .

Решение.

В данном случае имеем: , , , , .

Найдем значение функции и ее частных производных при , :

;

, ;

, .

Тогда

.

Точное значение

Замечание. Очевидно, что в настоящее время вычисление подобных выражений с помощью дифференциала не имеет смысла, но для получения приближенных формул применение понятия дифференциала не потеряло актуальности.