2.2 Геометрический смысл частной производной первого порядка функции двух переменных

Пусть дана функция двух переменных , график которой имеет вид

Рисунок 16

Для нахождения частной производной мы фиксируем переменную , находим производную полученной функции одной переменной и подставляем в полученную производную вместо переменной значение .

Графиком функции одной переменной является (рисунок 17) сечение графика функции плоскостью .

Как нам уже известно, из курса дифференциального исчисления для функции одной переменной, значение в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке графика функции с абсциссой .

Таким образом, получили, что

.

Рисунок 17

Геометрический смысл частной производной функции двух переменных: значение частной производной функции по в точке равно тангенсу угла наклона касательной проведенной в точке к сечению графика функции плоскостью .

.

2.3 Дифференцируемые функции нескольких переменных. Дифференциал.

Определение 2.3.1. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция , и ее полное приращение в представимо в виде

,

где , ‑ величины, не зависящие от и , а , ‑ бесконечно малые при , .

Тогда функция называется дифференцируемой в точке .

Задача. Доказать, что функция является дифференцируемой в произвольной точке .

Решение.

Докажем, что функция является дифференцируемой в точке , используя определение дифференцируемой функции.

Для данной функции имеем , и тогда она определена в произвольной окрестности точки .

Рассмотрим приращение функции в точке :

+

►Введем обозначения: , ,

, .◄

.

Так как выражения , не зависят от и , а выражения , являются бесконечно малыми при , , то согласно определению дифференцируемой функции получаем, что функция является дифференцируемой в произвольной точке .

Теорема 2.3.1. Если функция является дифференцируемой в точке , то тогда она в этой точке является непрерывной.

Доказательство.

Используем, что функция называется непрерывной в точке , если верно равенство .

Рассмотрим

►Если в точке функция является дифференцируемой, то существует представление

.◄

.

Таким образом, если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Теорема доказана.

Замечание 1. Данная теорема представляет собой необходимое условие дифференцируемости функции: для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Замечание 2. Данное необходимое условие не является достаточным. Например, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

Теорема 2.3.2. Пусть частные производные и определенны в некоторой окрестности точки и в самой этой точке непрерывны, то тогда функция дифференцируема в точке .

Доказательство.

Рассмотрим полное приращение функции в точке :

►►Используем теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и существует производная на интервале .

Тогда существует точка такая, что верно равенство

.◄

►Здесь: , .

Так как непрерывна в точке , то тогда верно равенство .

Из того, что следует, что при имеем . Тогда имеем выполнимость равенства .

Далее используем теорему о связи величины, имеющей предел, и бесконечно малой.

Теорема. тогда и только тогда, когда существует представление , где ‑ бесконечно малая при , .

В данном случае будем иметь:

1) ;

2) .

Здесь: , ‑ бесконечно малые при , .◄◄

.

Отсюда, согласно определению дифференцируемой функции, функция дифференцируема в точке .

Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы имеем, что

и .

Замечание 2. Доказанная теорема представляет собой достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных. Это условие не является необходимым. В качестве примера можно рассмотреть функцию

Приведенная функция в точке является дифференцируемой, однако она не имеет частных производных в любой проколотой окрестности точки .

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ее приращение в этой точке можно записать в виде:

.

При уменьшении и последние два слагаемых убывают быстрее первых двух, поэтому при достаточно малых и влияние первых двух слагаемых будет определяющим на величину полного приращения .

Определение 2.3.2. Выражение называется дифференциалом (полным дифференциалом) функции в точке .

Обозначение: .

.

Выражение является «главной» линейной (относительно и ) частью приращения .

Определение 2.3.3. Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение: .

Тогда формулу для дифференциала можно записать в виде:

.

Если дифференциал рассматривать в произвольной точке , то тогда

.