1.7 Непрерывность функции двух переменных

Определение 1.7.1. Функция называется непрерывной в точке , если верно равенство

.

Определение 1.7.2. Пусть любая окрестность точки содержит точки, принадлежащие области определения функции . Если в этой точке данная функция не является непрерывной, то функция называется разрывной в точке , а точка называется точкой разрыва функции .

Приведенное определение непрерывности функции в точке, говоря нестрого, означает, что если и , то тогда . Другими словами, небольшое изменение аргументов непрерывной функции приводит к небольшому изменению значения самой функции.

Введя замены , и , мы сможем записать определение непрерывной функции в точке на языке приращений.

Определение 1.7.3. Функция называется непрерывной в точке , если верно равенство

.

Определение 1.7.4. Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, которая принадлежит вместе со своей окрестностью области определения функции.

Очевидно, что если функция двух переменных непрерывна в некоторой области, то ее график будет сплошной поверхностью в виде одного куска без разрывов.

Для различных практических приложений требование непрерывности чрезвычайно важно, так как измерения различных величин всегда содержат некоторые погрешности.

Приведем без доказательства наиболее важные свойства непрерывных функций.

Теорема 1.6.1. Функция , непрерывная на ограниченной и замкнутой области , является ограниченной на этой области, то есть другими словами существует такое число , что для всех точек выполняется неравенство .

Теорема 1.6.2. Функция , непрерывная на ограниченной и замкнутой области , достигает на области своих наименьшего и наибольшего значений, то есть другими словами существуют такие точки , что для всех точек выполняется неравенство .

Теорема 1.6.3. Пусть функция является непрерывной на области , и для точек верны равенства и . Тогда функция на области принимает и все промежуточные значения между и .

Первые две теоремы часто бывают полезны при решении различных задач на максимум и минимум, а третья теорема – при решении уравнений.

2 Производные и дифференциалы

2.1 Понятие частной производной

Определение 2.1.1. Частной производной функции по переменной в точке называется число, равное пределу отношения частного приращения к приращению , когда последнее стремиться к нулю.

.

Если рассматривать частную производную не в фиксированной точке , а в произвольной точке , то частная производная будет не числом, а функцией.

Определение 2.1.2. Частной производной функции по переменной называется функция, равная пределу отношения частного приращения к приращению , когда последнее стремиться к нулю.

.

Различные обозначения частных производных: , , , , , .

Следует отметить, что значение переменной в данном случае не меняется, поэтому фактически частная производная представляет собой производную функции одной переменной (той по которой находится частная производная), когда все остальные переменные считаются константами.

Задача. Найти все частные производные первого порядка функции трех переменных .

Решение.

1) ;

2) ;

3) .

Так как понятие частной производной для функции нескольких переменных фактически свелось к понятию производной функции одной переменной, то можно сделать следующие выводы.

1. Если , то ( зафиксирован) при увеличении , значение функции будет возрастать.

2. Если , то ( зафиксирован) при увеличении , значение функции будет убывать.

3. Чем больше , тем сильнее меняется функция при изменении и неизменном .

Таким образом, частная производная характеризует скорость изменения функции , если точка движется вдоль оси .