2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами k и l относительно стороны k. Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны k и dy (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади kdy (напоминаем, что по предложению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен ky dy, а статический момент всего прямоугольника равен:

= = . (1)

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой = , где - непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], снизу осью абсцисс, а с боков прямыми x=a, x=b.

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно dx и высота y. Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен . В случае когда не выполняется предположение о не отрицательности функции y= , эту формулу надо заменить такой:

= - (части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т.е. интегралу , а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой:

= .

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно x. Поэтому его статический момент равен x|y|dx, а статический момент всей трапеции выражается формулой:

= .

Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так:

= .

Пример 3. Найдем статический момент (относительно оси Ox) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды: x= - , y= - .

Решение. Так как параметр t одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2 , то:

= - - = - = -3 + + -( - ))| = + = .

Пример 4. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью Ox и одной полуволной синусоиды y= .

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой x= , то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, = . Ордината центра тяжести находится по формуле:

= .

Так как:

= =- =2, то = = .

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке ( .

Пример 5. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной циклоиды x= - , y= - .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой x= , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому = . Найдем по формуле:

= .

Площадь S данной фигуры была вычислена раньше, она равна 3 . Следовательно, = - = .

Центр тяжести данной фигуры находится в точке ( .

3. Теорема Гульдина-Паппа.

Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).

Пусть поверхность образована вращением дуги Г, имеющей длину l. Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой:

= .

Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом:

=2 , из этого следует, что: =2 .

Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теорией Гульдина-Паппа.

Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины l дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести C этой кривой.

Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции:

= и формулы объема тела вращения: = - получаем = , т.е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина-Паппа:

Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.

Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.

Пример 6. Пользуясь теоремой Гульдина-Паппа, вычислим площадь поверхности и объема тора (рис. 62), образованного вращением круга радиуса a вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстоянии b (a b).

Решение. Так как длина данной окружности равна 2 , а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна 2 , то поверхность тора по первой теореме Гульдина-Паппа равна:

= = .

Объем тора равен: = = .

Пример 7. Длина одной арки циклоиды = - ), = - равна , а площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ox, равна . Вычислим площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке (рис. 63).

Решение. Пусть - расстояние центра тяжести дуги от оси Ox, тогда по первой теореме Гульдина-Паппа: = , откуда: = .

наибольшая ордината кривой соответствует = и равна 2 , причем касательная в этой точке параллельна оси Ox; следовательно, расстояние h центра тяжести этой касательной равно: - = .

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке, равна: = = .

Пример 8. Найдем объем тела, полученного от вращения квадрата со стороной a вокруг оси Ox, если он расположен так, как показано на рисунке 64.

Решение. Центр тяжести C квадрата находится на пересечении его диагоналей. Обозначим через b расстояние центра тяжести Ox. Тогда по второй теореме Гульдина-Паппа искомый объем:

= =2 .