2.2 Метод ковзаючого середнього

Найпростішим випадком використання даного методу є такий, коли із трьох вибраних величин вихідного масиву для функції вираховується згладжена величина як середнє арифметичне значення:

(2.2.1)

Цей вираз був отриманий наступним чином.

Вибираємо в даному випадку для згладжування степенний поліном нульової степені , а для його побудови вибираємо з вихідного масиву значень на кожному кроці згладжування сукупність з трьох точок (тобто мінімальної кількості точок для апроксимації за допомогою прямої лінії) . У якості міри близькості застосовуємо квадратичний функціонал:

(2.2.2)

із необхідної умови екстремуму (мінімуму) якого знаходимо оптимальне значення шуканого коефіцієнта :

(2.2.3)

(2.2.4)

де - згладжене поліном нульової степені значення сигналу.

Звісно, що при такій процедурі згладжування втрачаються два крайні значення (нульове та ) з масиву вихідних даних. Уся сукупність кроків таких розрахунків зветься однократним згладжуванням (або одним проходом згладжування). Можна повторити цю процедуру обробки, але вже з отриманим результатом у вигляді масиву даних , що дає вже двократне згладжування:

(2.2.5)

Підставивши вираз (2.2.1) для кожної складової співвідношення (2.2.1) отримуємо у підсумку:

що безпосередньо зв’язує значення другого проходу згладжування з вихідними значеннями сигналу. Наприклад: зафіксовані вихідні значення сигналу (табл.2.1) які послідовно згладжені за два проходи, що дає два масиви :

0	0.0	5	---	---
1	0.1	5.4	5.63	---
2	0.2	6.5	5.97	5.89
3	0.3	6.0	6.07	6.02
4	0.4	5.7	6.03	6.14
5	0.5	6.4	6.33	6.39
6	0.6	6.9	6.80	6.80
7	0.7	7.1	7.26	7.18
8	0.8	7.8	7.47	---
9	0.9	7.5	---	---

Табл.2.1.

Розрахунок: Завдання 1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	0,2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8
	2.5	1.82	1.32	0.96	0.7	0.5	0.37	0.27	0.19	0.14

Функція, якою згладжуються дані має вигляд

1. Логарифмуємо функцію та самі значення функції .

2. Отримуємо суму квадратів різниць значень та :

3. Диференціюємо отриману функцію по змінним та та прирівнюємо часткові похідні до для знаходження мінімуму функції:

4) Складемо систему рівнянь та розв’яжемо її:

5) Знаходимо суму квадратів відхилень:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8
	2.5	1.82	1.32	0.96	0.7	0.5	0.37	0.27	0.19	0.14
	2.477	1.802	1.311	0.954	0.694	0.505	0.368	0.267	0.195	0.142
	0.023	0.018	8.662e-3	5.867e-3	5.77e-3	-5.124e-3	2.471e-3	2.585e-3	-4.572e-3	-1.571e-3

Максимальне по модулю відхилення буде:

Графік вихідного сигналу:

Графік згладженого сигналу: