2 Вопрос

Алгебра событий.

 Определение 1. Суммой двух событий А и В называется событие С состоящее выполнение события А или события В или обеих вместе

Определение 2. Произведение двух событий А и В называется событие С состоящее в совместном появлении этих двух событий.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Замечание 1. Сумма вероятности противоположенного события равна 1. Р(А) + Р(В)=1

Замечание 2. Противоположенные события образуют полную группу

Определение 3. Два события А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того произошло ли событие В или не, в противоположенном случае события называют зависимыми.

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Теорема 3. Вероятность суммы двух совместных событий, есть сумма их вероятностей без вероятности их совместного появления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Определение 4. Вероятность события А вычисленная при условии, что имело место другого события В, условной вероятностью события А.

Р(А/В)

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычесленную при условии, что первая имела место Р(А*В)=Р(А)*Р(В)(А)

3 Вопрос. События и их виды.

Для изучения законов теории вероятностей введем основные понятия. Одним из них является понятие события.

  Определение: Событие -явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо комплекса условий.

  Осуществление комплекса- испытание или опыт.

Сами испытания проводятся человеком или природой. Условия могут меняться помимо воли испытателя, поэтому исходом испытания может быть не ожидаемое событие, а какое-либо другое заранее неизвестное, которое называется случайным.

  Определение: Случайное событие- это событие, которое может произойти или не произойти в результате одного испытания.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определения:

Достоверное событие- это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

Невозможное событие- это событие, , которое не может произойти в результате испытания.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

Определение: События А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если  не появление одного влечет появление другого.

Определение: Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.

• Два противоположных события составляют полную группу.

4 Вопрос. Теория сложения и умножения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых  событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)ⁿ