2 Свойства инт.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
Лин. подстановка:
3 Таблица основных инт. Непосредственное инт.
4
Т. о подстановке.
Если
,
то
5
Замена переменной.
Пусть
,
полагаем
и находим инт
,
по т. о подстановке
,
а
,где
обратная
к
:
.
6 Инт. По частям
Пр.:
рекуррентная формула для
7 Инт. Рациональных функций.
Рациональной
фун. или дробью наз. отношение двух
полиномов,
,
где
.
Дробь
R
наз. правильной если
,
и она наз. неправильной если
.
Простейшими наз.правильные дроби вида
.
Всякую правильную дробь можно представить суммой простейших дробей, и такое представление ед.
Правило составления суммы: знаменатель разлагаем на неприводимые множители; каждый множитель порождает столько простейших каков показатель с которым он входит в разложение;
Если дробь R неправильная, то ее можно представить в виде
суммы
,
где
целая часть(полином), а
правильная дробь.
,
где
простейшие дроби.
Инт.
от дроби находим по формуле
8 Инт. Иррациональных функций
8.1
Инт. дробно-линейных иррац.
8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
1) p - целое, 2) (m+1)/n - целое, 3) (m+1)/n+p - целое.
,
,
=
9 Инт. Тригон. Выражений
9.1
,
;
9.2
,
,
;
9.3
,
;
9.4
пр.
,
Определенные интегралы
1.
Основные понятия и опред.
Пусть
опред. и ограничена на отрезке
,
-
разбиение
,
,
-
ранг разбиения,
- инт. сумма
,
- предел инт. сумм,
определенным инт. от по наз. число
,
если предел
,
а
наз.
инт. по Риману. Пр.
Справедлива следующая
Теорема. Если опред. и ограничена на отрезке , и имеет там конечное число точек разрыва, то она инт. на .
2. Свойства
1)
Линейность
2)
Аддитивность
3)
Монотонность (1)
;
(2)
;
(3)
3.
Т. о ср.знач. Пусть
непр. на
:
,
наз.
ср. знач.
на
.
4.
Формула Ньютона/Лейбница.
Если
инт. на
, и
дифф. функция F
на
:
,
тогда
.
5.
Т. о дифф. по верхнему пределу.
Если
непр.
на
, а
,
тогда
6. Замена переменной
Пусть
непр. на
,
непр. дифф. и
на
,
,
если
на
,
использовать формулу Н/Л
7. Инт. по частям опред. интегралов.
Несобственные инт.
1 Опр. несоб. инт. 1-го рода(с бесконечными пределами) , сх и рсх.
Пр.
2 Признаки сх. и рсх.
2.1
Принцип Коши:
сх
Пр.
сх:
2.2
Пусть
первообразная
,
сх
существует
Пр.
2.3
Признак сравнения: если
и
сх., то
сх.
по
принципу
Коши :
2.4
Предельный признак сравнения: если
и
,
то инт.
и
оба сх. или оба рсх.
2.5
Если
сх., то сх. инт.
;
инт.
наз. абс сх.,
обратное не верно!
3 Опр. несоб. инт. 2-го рода(от неограниченных функций), сх и рсх.
4 Признаки сх. и рсх. такие же как для инт. 1-го рода.
Приложения инт.
1 Пл. крив. трапеции и сектора. Пусть f непр. и ≥ 0 на , тогда ее подграфик E наз. крив. трапецией.
Т.
Крив. трапеция измерима, и ее пл.
Пусть
f
непр. , ≥ 0 на
и E
соответствующий крив. сектор, тогда его
пл.
пр.
1) пл. эллипса, 2) пл. 1-ой арки циклоиды
,
,
,
пл. фигуры ограниченной кардиоидой.
2 Объем тел вращения, поперечные сечения
пр.
объем 1) тора, 2)
вокруг
OX
и OY,
3) эллипсоида
3 Стат. моменты и центр масс крив. трапеции, формулы Гульдина
пр. центр масс полукруга
4 Длина гладкой кривой (гладкого пути)
,
,
5
Пл. поверхности вращения гл. кривой
6 Стат. моменты и центр масс гл. кривой, формулы Гульдина
стат.
моменты:
,
;
центр
масс:
,
;
формулы
Гульдина:
,
.
Пр. ЦМ полуокружности.
DУ.
1. Основные понятия и опр. Уравн., содержащее неизвестную фун. и ее производные наз. дифференциальным. Порядком DУ наз. наибольший порядок производной неизвестной фун., которая входит в уравнение.
Т.о.
DУ1
имеет вид
,
его записывают в виде
,
где
непр. в области
,
DУ2,
разрешенное относительно
, имеет вид
,
где
непр. в области
.
Фун.
наз. реш. DУ
в
,
если
1)
непр., 2)
, 3)
.
График реш. наз. инт. кривой(ИК), само реш. наз. интегралом DУ, особенно когда реш. имеет неявный вид.
Пр.
Реш.
DУ
, график которого проходит через
:
,
наз. реш. ЗК с началом
.
ЗК записывают в виде
. Семейство реш.
наз. ОР в если
,
т.о. за счет выбора
решается ЗК с началом в любой точке Ω.
Пр.
дает ОР DУ
в области y>0,
т.к. семейство этих парабол заполняют
всю верхнюю полуплоскость и любые две
не пересекаются.
Если в каждой точке ИК нарушается ед., то она наз. особой.
Пример:
особое решение DУ
.