29.Линейные уравнения 1-го порядка и методы их решения

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

Использование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши.

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0.

30. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Частным решением уравнения на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение , что:

1. Любое решение этого соотношения относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) является частным решением уравнения ;

2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.

Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка: требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа

В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x0, y0,) с заданным угловым коэффициентом y1.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y, p1, p2, …, pn-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D n + 1-мерного евклидового пространства переменных (x, y, p1, p2, …, pn-1), и пусть точка (x0, y0, y1, y2, …, yn-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует решение уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18). Это решение единственно.

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Переобозначивпостояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = (y^(k))(x). Тогда z^(n-k) = (y^(n))(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x).