2 1.Дивиргенция (или расходимость) векторного поля в точке — это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность , окружающую точку , в направлении ее внешней нормали к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку (1)

Þ — дивергенция является производной потока через замкнутую ориентированную поверхность по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Основные свойства дивергенции

1. — это дифференциальная характеристика поля, является скалярной величиной.

2. В каждой точке поля показывает наличие источников или стоков поля:

§ если , то в точке есть источник поля , при этом значение численно равно мощности источника;

§ если , то в точке есть сток поля , при этом значение численно равно мощности стока;

§ если , то в точке нет ни источника, ни стока поля .

3. вычисляется по формуле:

(2)

Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса, связывающей интеграл по замкнутой поверхности с интегралом по объёму, ограниченному этой поверхностью:

Применяем теорему о среднем к тройному интегралу:

где М1 — это некоторая фиксированная точка в объёме, ограниченном замкнутой поверхностью (σ),

—величина этого объёма.

Теперь используем определение (1) дивергенции:

так как при точка M1стремится к точке M.

4. Если использовать понятие дивергенции, то теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме:

(3)

то есть поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Так как можно рассматривать как плотность распределения источников и стоков векторного поля , то тройной интеграл равен суммарной мощности источников и стоков по объему .

Учитывая это, смысл теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3) можно сформулировать следующим образом:

поток векторного поля изнутри замкнутой поверхности равен суммарной мощности источников и стоков этого поля, заключенных в объеме , ограниченном этой поверхностью .

Следовательно, если поток равен 0, то внутри поверхности нет источников и стоков поля или они уравновешивают друг друга.

5. Линейность дивергенции:

Это следует из линейности операций сложения векторов и дифференцирования.

6. Дивергенция прозведения скалярного поля на векторное поле вычисляется по формуле:

22.Производная по направлению.Градиент

Пусть снова функция задана в области и имеет во всех точках частные производные по всем переменным . Предположим, что все частные производные непрерывны в точке . Тогда функция дифференцируема в точке , то есть приращение функции имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:

где -- величина большего порядка малости при , чем . Напомним, что

так что получаем

Фиксируем теперь в какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор Через точку в направлении вектора проходит некоторая ось . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки этой оси можно задать параметрическими уравнениями:

или, в векторном виде, , где и увеличению значений параметра соответствует движение точки оси в направлении вектора .

Обозначим ту часть оси , которая состоит из точек оси, следующих после , то есть точек луча , получающегося при .

Градент

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат xyz называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функция переменных , то её градиентом называется n-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.