18. Формула Стокса
Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции
справедлива теорема Стокса:
где
− ротор векторного
поля
.
Символ 
показывает,
что криволинейный интеграл вычисляется
по замкнутой кривой.
Будем
предполагать, что ориентация поверхности
и направление обхода кривой соответствуют
правилу правой руки. В этом случае при
обходе кривой поверхность всегда
остается слева, если голова направлена
в ту же сторону, что и вектор
нормали
(рисунок
1).
Теорема
Стокса связывает между собой криволинейные
интегралы второго рода и поверхностные
интегралы второго рода.
В
координатной форме теорема
Стокса может быть записана в следующем
виде:
|
|
|
19. Формула Остроградского
Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностьюS с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле
компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса,
где через
обозначена дивергенция векторного
поля
(она
обозначается также символом 
).
Символ 
указывает,
что поверхностный интеграл вычисляется
по замкнутой поверхности.
Формула
Остроградского-Гаусса связывает
поверхностные интегралы второго рода
с соответствующими тройными
интегралами.
Данную
формулу можно записать также в
координатной форме:
В
частном случае, полагая 
,
получаем формулу для вычисления объема
тела G:
20. Скалярные и векторные поля и их характеристики
Определение. Скалярное
поле на
области 
(
)
представляет собой произвольную
функцию 
,
определенную на 
.
Поверхности
уровня скалярного поля – это множества
решений уравнения 
при
заданных значениях C.
Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.
Векторное
поле 
на
области
(или
)
– это вектор, координаты которого 
являются
функциями, определенными на 
.
Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.
Производная
скалярного поля по направлению. Градиент
скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже
рассматривали производную плоского поля
(т.е.
)
по направлению 
, 
.
Понятиевеличины
отрезка
определяется
аналогично и для
.
Напоминаем: величина
отрезка 
представляет
собой его длину со знаком "+", если
векторы
и 
одинаково
направлены и длину со знаком "-",
если их направления противоположны.
Тогда, по определению, 
.
Если
введена система прямоугольных декартовых
координат и вектор
задан
направляющими косинусами 
,
то при условии дифференцируемости 
в
т. 
легко
вывести формулу: 
,
где 
- градиент скалярного
поля
в
точке
.
Разумеется,
понятие градиента можно ввести и без
использования системы координат: 
,
т.к. 
-
единичный вектор.
Таким
образом, 
,
причем равенство наступает при условии 
.
Наибольшее значение
по
всем выборам
,
таким образом, есть 
,
а направление градиента – это как раз
тот вектор
,
на котором это наибольшее значение
достигается. Итак, направление и модуль
вектора 
определено
без использования координат. Это говорит
обинвариантности этого
понятия и о наличии реальных
естественно-научных интерпретаций.
Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.
(
дифференцируемая
функция