Многоканальная смо с отказами в обслуживании
В коммерческой деятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами.
Рассматривается
модель многоканальной СМО с 
однотипными
каналами с простейшими
потоками событий
обслуживания в каналах и на входе с
интенсивностями μ и λ соответственно.
Отказ в обслуживании имеет место, если
при приходе очередной входной заявки
все каналы заняты.
Граф
перехода состояний представлен
на рис. 1, где 
-
состояние системы с
занятыми
каналами.
|
Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Случайный процесс, протекающий в СМО, описывается системой дифференциальных уравнений, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:
n-линий,
к-количество занятых линий
,
Вероятность
отказа в обслуживании:
=
/
!
,
=λ/μ
и
=
1.
Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью ля . Интенсивность потока обслуживания равна мю (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать мю обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость
Пример 3. Специализированный пост диагностики представляет собой
одноканальную СМО. Число линий для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на
диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей мю=1/tобсл=1/1,05=0,952
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей лямбда и мю, т. е. а=лямбда/мю=0,85/0,952=0,893
3. Вычислим финальные вероятности системы:
P0 = 1-а/1-аN+1 =1-0,893/1-0,8935 =0,248
P1 =а*P0 =0,893*0,248 =0,221
P2 =а2 *P1 =0,198
P3 =а3 *P2 =0,177
P4 т.д.
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля P4 =а4 *P0 =0,155
5. Относительная пропускная способность поста диагностики ку=1-P4 =0,842
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
(автомобиля в час) A=ку*лямбда =0,842*0,85 =0,716 (автомобиля в час)
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания) Ls =1,77
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе Ws = Ls /лямбда*
(1-Pn) =2,47часа
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание Wq =Ws -1/мю =1, 423 часа
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди) 1,02
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Pотк = 0,158).
Имитационное моделирование — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику. Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.