Точечные и интервальные оценки параметров распределения
Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.
Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной – оценками.
Точечной оценкой параметра называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке.
Требования, которым должна удовлетворять точечная оценка параметра: несмещенность (математическое ожидание оценки должно быть равно оцениваемому
параметру); эффективность (несмещенная оценка должна имеет минимальную дисперсию по
сравнению с другими выборочными оценками);
состоятельность (при n → ∞оценка должна стремиться по вероятности к оцениваемому параметру)
Пусть φ* - найденная по данной выборке статистическая характеристика, которая служит точечной оценкой неизвестного параметра φ генеральной совокупности.
Пусть φ* удовлетворяет условию |φ - φ*|< ε с некоторой вероятностью γ:
Р(|φ - φ*|< ε) = γ.
Интервальной оценкой называют оценку, определяющую числовой интервал (φ *– ε; φ* + ε), ε>0, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Этот интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом.
Для построения доверительного интервала φ *– ε < φ < φ* + ε с заданной надёжностью γ используйте Приложение 5.
© Хаустова О. И. |
13 |
Тесты |
|
|
|
1. Для выборки |
объема n =10 вычислена |
выборочная |
дисперсия D =180 . Тогда |
исправленная дисперсия для этой выборки равна … |
|
||
а) 324; |
б) 200; |
в) 162; |
г) 400. |
2.Дана выборка объема n . Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то выборочное среднее x …
а) увеличится на 5 |
б) уменьшится на 5 в) не изменится; |
г) увеличится на 10 |
единиц; |
единиц ; |
единиц. |
3.Дана выборка объема n . Если каждый элемент выборки увеличить в 10 раз, то выборочное среднее x …
а) увеличится в 25 |
б) уменьшится в 10 в) не изменится; |
г) увеличится в 10 |
раз; |
раз; |
раз. |
4.Дана выборка объема n . Если каждый элемент выборки уменьшить на 7 единиц, то выборочная дисперсия …
а) увеличится на 7 |
б) уменьшится на 7 в) не изменится; |
г) уменьшится на 14 |
единиц; |
единиц ; |
единиц. |
5.Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины: 5, 6, 9, 10, 11. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…
а) 8,4; |
б) 10,25; |
в) 9; |
г) 8,2. |
6.Проведено 3 измерения некоторой случайной величины: 9, 10, 11. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна…
а) 1,5; |
б) 2/3; |
в) 1; |
г) 2. |
7. Дан доверительный интервал (12,44; 14,68) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …
а) 1,12; |
б) 0,01; |
в) 2,24; |
г) 13,56. |
8. Дан доверительный интервал (– 0,28; 1,42) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …
а) (–0,14; 1,28); |
б) (–0,37; 1,51); |
в) (–0,14; 1,42); |
г) (0; 1,42). |
© Хаустова О. И. |
|
14 |
|
9. Дан доверительный интервал (25,44; 26,98) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид … а) (24,04; 28,38); б) (25,74; 26,68); в) (24,04; 26,98); г) (24,14; 28,38).
10. Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид …
а) (10,38; 13,70); |
б) (0; 13,70); |
в) (11,21; 12,87); |
г) (10,38; 12,04). |
11. Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака равна 3,5. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
а) (0; 8,33); |
б) (3,5; 8,33); |
в) (0; 3,5); |
г) (–1,33; 8,33). |
12. Точечная оценка вероятности биномиально распределенного количественного признака равна 0,38. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
а) (0,25; 0,51); |
б) (–0,05; 0,81); |
в) (0,38; 0,51); |
г) (0,29; 0,49). |
© Хаустова О. И. |
15 |
Задачи
1.Результаты 10-ти дневного наблюдения в молочном отделе супермаркета показали, что в среднем в день реализуется 144 пачки творога с исправленным средним квадратическим отклонением в 23 пачки. Оцените потребность супермаркета в закупке творога, построив 99% доверительный интервал.
2.Фирма, торгующая автомобилями в небольшом городе, собирает информацию о состоянии местного автомобильного рынка в текущем году. С этой целью из 8500 горожан в возрасте 18 лет и старше, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 130 человек, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году. Оцените долю лиц в генеральной совокупности в возрасте 18 лет и старше, планирующих приобрести новый автомобиль в
текущем году, если α = 0,01.
3.При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-ный доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.
4.Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию зубной пасты, составляет 60% от общего числа покупателей данного товара. Каким должен быть объём выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,1 при доверительной вероятности 0,954?
5.Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 35. По данным этой выборки установлено, что средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределённой по нормальному закону, найти 95%-ный доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.
6.Выборочные маркетинговые исследования показали, что 68% потребителей предпочитают приобретать черный чай без вкусовых добавок. Определите границы 95%-ного доверительного интервала доли таких потребителей в генеральной совокупности, если объем выборки составил 500 человек.
7.Предварительный опрос покупателей магазина рыболовных принадлежностей «Серебряный ручей» показал, что 25% из них планируют в дальнейшем делать покупки в этом магазине, если им будет предоставлена дисконтная карта. Каким должен быть объем выборки, необходимый для оценки генеральной доли постоянных покупателей, при заданной точности не менее 0,04 и доверительной вероятности 0,954?
8.С целью размещения рекламы опрошено 410 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 160 человек. С доверительной вероятностью 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.
9.Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина 10,1 л на
100км, при среднеквадратическом отклонении S=1,1 л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при 0,05.
© Хаустова О. И. |
16 |
10.Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равным 48 и 2. Определите процент спроса на костюмы 50-го размера, при условии, разброса значений этого размера в интервале (49; 51)
11.На основании продолжительных наблюдений за весом пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов 10 г. Взвешено 25 пакетиков, при этом их средний вес составил 244 г. В каком интервале с надежностью 95 % лежит истинное значение среднего веса пакетов?
12.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочному среднему равна 0,3, если известно, что среднее квадратическое отклонение 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.
13.Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением 3. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания по выборочному среднему 5, если объем выборки 36 и надежность оценки 0,95.
14.Фирма ЖКХ желает на основе выборки оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 99% и погрешностью, меньшей 10 денежных единиц. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим 35 ден.ед., найдите минимальный объем выборки.
15.Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом 10
Варианта |
-2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Частота |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
Оцените с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочному среднему при помощи доверительного интервала.
16.По результатам социологического обследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента составил 30 %. Найдите границы, в которых с надежностью 0,95 заключен рейтинг президента. Сколько респондентов нужно опросить, чтобы с надежностью 0,99 гарантировать предельную ошибку обследования не более 1%?
17.По данным выборки объема n из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено исправленное среднее квадратическое отклонение S. Найдите доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95, если:
а) n =10, S =5,1, б) n =30, S =14.
© Хаустова О. И. |
17 |