Добавил:

qwerty228 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Непрерывная случайная величина

.pdf

Скачиваний:

585

Добавлен:

18.09.2019

Размер:

360.86 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. IV. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 138 с.

Лекция

Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин (равномерное, экспоненциальное, нормальное). Некоторые специальные законы распределения случайных величин: χ2, Стьюдента, Фишера – Снедекора.

Непрерывная случайная величина

Функция распределения непрерывной случайной величины

Определение: Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из конечного или бесконечного числового интервала.

Примеры: 1) Случайная величина T - время ожидания пассажиром поезда метро. T [0;t0 ].

2)Ошибка, которая может быть допущена некоторым измерительным устройством

3)Расстояние от точки попадания до центра мишени.

Замечание: для непрерывной случайной величины не существует понятия ряда распределения.

Определение: Пусть дана непрерывная случайная величина X . Функция F (x)= P(X < x),

определенная для всех действительных чисел x , называется функцией распределения случайной величины X .

В дальнейшем предполагаем, что функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Замечание: функцию распределения непрерывной случайной величины называют также

интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения: 1) Функция F(x) - неубывающая

2)	lim F(x)= 0 , lim F(x)=1.
	x→−∞	x→∞
3)	F (x) [0;1]

Замечание: любая функция, удовлетворяющая трем перечисленным свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Теорема (вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал)

Пусть F (X )- функция распределения непрерывной случайной величины, тогда

P(a ≤ X < b)= F (b)− F(a)

Доказательство идентично доказательству аналогичной теоремы для дискретной случайной величины.

Следствие: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо конкретное значение, равна нулю.

Пример1: проверить, являются ли функции F(x)=

arctgx +

при

x < −1

и G(x)=

x +1

при

x [−1;2] функциями

распределения некоторых случайных

при

x > 2

величин.

Решение: Надо проверить выполнение свойств

функция F (x) - неубывающая

lim F(x)= 0 , lim F(x)=1.

x→−∞

x→∞

(x) [0;1]

а) F(x)=

arctgx +

. Поскольку функция y = arctgx - неубывающая, то и

F(x)= π1 arctgx + 12 - также неубывающая функция.

1		arctgx +			1				1		lim arctgx +		1		1			π			1
lim							=							=					+			=1
lim					2		=						2	=		π		2	+		2	=1
x→∞ π					2				π x→∞				2			π		2			2
	1		arctgx +			1		=	1			lim arctgx	+	1	=		1			−	π		+	1	= 0 .
lim
lim	π													2			π				2			2
x→−∞	π					2				π x→−∞				2			π				2			2
Поскольку				lim F(x)= 0 , lim F(x)=1 и функция F (x) - неубывающая, то, очевидно, что все ее
				x→−∞								x→∞

значения заключены в промежутке [0;1]. Все три свойства выполняются, значит, функция

F (x)= π1 arctgx + 12 является функцией распределения некоторой случайной величины.

при

x < −1

б)

G(x)=

x +1

при

x [−1;2].

при

x > 2

На

промежутках

(−∞;−1)и (2; ∞) функция G(x)

постоянна и, значит, не убывает. На

промежутке [−1;2] функция G(x)=

x +1

является возрастающей. Значит, на всей числовой

прямой функция

G(x) - неубывающая.

lim G(x)= 0 , lim G(x)=1.

Из определения функции G(x) следует, что

На промежутке (−∞;−1)

x→−∞

x→∞

G(x)= 0 , на промежутке (2; ∞) G(x)=1. На промежутке [−1;2]

G(x)=

x +1

и при этом G(−1)= 0 и G(2)=1. Функция G(x)=

x +1

возрастает, значит, на

промежутке [−1;2] ее наименьшее значение равно 0, а наибольшее равно 1. Следовательно, на всей числовой прямой G(x) [0;1]. Все три свойства выполняются, значит, функция G(x) является функцией распределения некоторой случайной величины.

Пример 2: Случайная величина X задана функцией распределения

	0	при	x < −1
G(x)=	x +1	при	x [−1;2].
	3
		при	x > 2
	1
Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [−0,5;0,5] и вероятность ее
попадания в интервал [1;3].
Решение: P(a ≤ X < b)= G(b)−G(a)
Оба числа −0,5 и 0,5 принадлежат промежутку [−1;2], где G(x)=				x +1	, значит,

			3

P(−0,5 ≤ X < 0,5)= 0,53+1 − −0,35 +1 = 13 .

Число 3 (2; ∞), где G(x)=1, а число 1 [−1;2], где G(x)= x 3+1 , значит,

P(−0,5 ≤ X < 0,5)=1 −1 +3 1 = 13 .

Плотность распределения

Определение: Пусть F (x) является функцией распределения непрерывной случайной величины X . Тогда функция f (x)= F ' (x) называется плотностью распределения случайной

величины X .

Замечание: плотность распределения называют также дифференциальной функцией распределения.

Свойства плотности:				1) f (x)≥ 0
				1) f (x)≥ 0
				2)	∞∫ f (x)dx =1
					−∞
Доказательство:	1)		поскольку	f (x)= F ' (x) и F (x) - неубывающая функция, значит, ее
производная не отрицательна.
2) ∞ f (x)dx = F(x)		∞	= lim F(x)− lim F(x)=1 −0 =1
2) ∞ f (x)dx = F(x)		∞	= lim F(x)− lim F(x)=1 −0 =1
∫		−∞	x→∞	x→−∞
∫		−∞	x→∞	x→−∞
−∞

Замечание: любая функция, удовлетворяющая двум перечисленным свойствам, является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины.

Теорема (вероятность попадания в заданный интервал)

Если функция f (x) является плотностью случайной величины X , то вероятность попадания этой величины в интервал [a;b] равна

P(a ≤ X ≤ b)= ∫ f (x)dx

Доказательство:

P(a ≤ X ≤ b)= F (b)− F(a)= ∫b F ' (x)dx = ∫b f (x)dx .

Теорема (плотность и функция распределения)

Если функция f (x) является плотностью случайной величины X , то ее функция

распределения равна ∫ f (x)dx .

−∞

Доказательство:

F (x)= P(X < x)= P(−∞ < X < x)

Полагая a = −∞, b = x в формуле P(a ≤ X ≤ b)= ∫b

f (x)dx , получим

F(x)= ∫ f (x)dx . Теорема доказана.

−∞

Пример: Дана плотность случайной величины X :

при

x −∞;−

f (x)=

при

;

a cos x

x −

при x

;

∞

Найти:

значение

коэффициента

a ,

функцию

распределения,

вероятность

попадания

2π

случайной величины

интервал

Построить

графики

плотности

функции

распределения.

Решение: 1) коэффициент a .

Поскольку ∞∫ f (x)dx =1,

−π

то

∫20dx + ∫2 a cos xdx + ∞∫0dx =1.

Первый

и третий

интегралы в

−∞

−π

последнем равенстве равны 0, поэтому a ∫2 cos xdx =1.

−

=1 . Значит, a =

asin x

2π

= a sin

−sin

−

= 2a

− 2

2) функция распределения

F(x)= ∫x

f (x)dx .

−∞

При x

F (x)

−∞;−

= ∫ f (x)dx =

∫0dx = 0 .

−∞

При x −

π ; π

: F(x)= ∫x

−π

∫x cos xdx = 0 +

f (x)dx = ∫20dx +

sin x

−x π

(sin x +1)

2 2

−∞

−

При x π

; ∞ :

−π

=1.

F(x)= ∫x

f (x)dx = ∫20dx +

∫2 cos xdx + ∫x

0dx =

sin x

−∞

−

−π

при

−∞;−

F(x)=

(sin x +1)

при

x −

;

при

; ∞

3)вероятность попадания в интервал 0; 2π .

P(a ≤ X <b)= F(b)− F(a)=1 − 12 (sin 0 +1)= 12

Рис. 12 Пример: Плотность и функция распределения

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание

Определение: математическим ожиданием случайной величины X с плотностью распределения f (x) называется

M (X )= ∞∫xf (x)dx .

−∞

Замечание: как для дискретной случайной величины, так и для непрерывной, математическое ожидание может не существовать. Необходимым и достаточным условием существования

математического ожидания является сходимость несобственного интеграла	∞∫xf (x)dx .
	−∞

Рассмотрим функцию распределения

'		1
f (x)= F	(x)=					.
f (x)= F	(x)=	π(1 + x2 )				.
∞∫xf (x)dx = ∞∫		xdx			=		1	ln(1 + x2 )	∞
		xdx					1
			2
−∞	−∞π(1 + x			)			2π		−∞
−∞	−∞π(1 + x			)			2π		−∞

не существует.

F(x)= π1 arctgx + 12 . Плотность распределения равна

= ∞: интеграл расходится. Математическое ожидание

Теорема (свойства математического ожидания)

1)Постоянный множитель можно выносить за знак M (X ): M (СX )= СM (X ).

2)Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:

M (X +Y )= M (X )+ M (Y ).

Доказательсто:

1) M (СX )= ∞∫Cxf (x)dx = C		∞∫xf (x)dx =СM (X ).
	−∞	−∞
	∞	∞	−∞
2) M (X +Y )	= ∫(x + y)f (x)dx = ∫xf (x)dx + ∫yf (x)dx =M (X )+ M (Y )
	−∞	−∞	−∞

Следствие 1: Математическое ожидание разности равно разности

математических ожиданий: M (X −Y )= M (X )− M (Y ).

Следствие 2: M (X1 + X 2 +... + X n )= M (X1 )+ M (X 2 )+... + M (X n ).

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Определение: Моментом порядка k

непрерывной

случайной величины X

называется

M (X k )= ∞∫xk f (x)dx

−∞

непрерывной случайной величины X

Определение: Центральным моментом порядка

называется M (

k )= M ((X − M (X ))k ).

Замечание: M (

k )= ∞∫(x − M (X ))k f (x)dx .

−∞

Определение:

Дисперсией

непрерывной

случайной величины X

плотностью

распределения f (x) называется

∞

D(X )= ∫

(x − M (X ))2 f (x)dx .

Замечание

−∞

Дисперсия

любой

непрерывной

случайной

величины

неотрицательна:

D(X )≥ 0 .

Действительно,

поскольку

плотность обладает

свойством

f (x)≥ 0

и,

кроме того,

(x − M (X ))2

∞

(x − M (x))2 f (x)dx

≥ 0 ,

то под знаком интеграла ∫

находится неотрицательная

−∞

функция и, значит, значение интеграла также неотрицательно.

∞

= M (X

)−(M (X ))

Замечание2:

D(X )= ∫x

∫xf

(x)dx −

(x)dx

−∞

∞

Доказательство: D(X )= ∫

(x − M (X ))2

f (x)dx =

−∞

= ∞∫(x2 − 2xM (X )+(M (X ))2 )f (x)dx = ∞∫x2 f (x)dx − 2M (X )∞∫xf (x)dx +

−∞

∞∞

+(M (X ))2 ∫ f (x)dx = ∫x2 f (x)dx − 2M (X ) M (X )+(M (X ))2 1 =

−∞	−∞
= M (X 2 )−(M (X ))2 .

f (x)

Определение: Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется

σ(X )= D(X ).

Теорема (свойства дисперсии)		знак D(X ), возведя его
1)	Постоянный множитель можно выносить за	знак D(X ), возведя его			в квадрат:
	D(СX )= С2 D(X ).
2)	Дисперсия суммы независимых случайных	величин	равна	сумме	дисперсий:
	D(X +Y )= D(X )+ D(Y ).
3)	Дисперсия разности независимых случайных величин		равна	сумме	дисперсий:
	D(X −Y )= D(X )+ D(Y )

Без доказательства.

Следствие 1: Если X - случайная величина, а C - постоянная величина, то

D(X +C)= D(X ).

Следствие 2: D(X1 + X 2 +... + X n )= D(X1 )+ D(X 2 )+... + D(X n ).

Пример: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины с функцией распределения

										0								при			x ≤ −1
		F(x)=							x +1									приx [−1;2] .
		F(x)=																приx [−1;2] .
										3								при				x > 2
												1						при				x > 2
Решение: найдем плотность распределения:
										0								при					x ≤ −1
		f (x)=							1						при						x [−1;2].
		f (x)=													при						x [−1;2].
							3					0						при					x > 2
												0						при					x > 2
M (X )=	∞∫xf (x)dx = ∫2 x		1	dx =				1			x2					2		=		4	−		1	=		1		.
			1					1			x2					2				4			1			1
			3				3												6			6			2
−∞		−1	3				3					2					−1		6			6			2
−∞		−1															−1
M (X 2 )=	∞∫x2 f (x)dx = ∫2 x2				1	dx				=			1					x3	2		=		8	+	1		=1.
					1								1					x3					8		1
					3							3										9			9
	−∞	−1			3							3						3	−1			9			9
	−∞	−1					1					3							−1
D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2 =1 −							1			=		3		.
D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2 =1 −							4			=		4		.
							4					4

Другие характеристики случайных величин

Определение: модой непрерывной случайной величины называется значение переменной x , при котором плотность максимальна. Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным (см. рисунок 13.), в противном случае оно называется полимодальным.

Рис. 13 Мода распределения

Замечание: существуют распределения, имеющие более одной моды. Такие распределения называют полимодальными.

Рис. 14 Полимодальное распределение

Замечание: Если график плотности распределения непрерывной случайной величины, имеющей моду, симметричен относительно вертикальной прямой x = x0 и математическое

ожидание существует, то математическое ожидание и мода совпадают и равны x0 .

Определение: медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение

Me , что P(X < Me)= P( X > Me) .

Замечание: геометрический смысл медианы состоит в том, что вертикальная прямая x = Me делит площадь, ограниченную графиком плотности распределения случайной величин на две равные части.

Рис. 15 Медиана распределения

ожидание существует, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают и равны x0 .

Если распределение непрерывной случайной величины симметрично относительно математического ожидания, то все моменты нечетных порядков равны нулю, как интегралы от нечетных функций на симметричном промежутке. Поэтому для численного определения характеристики «асимметрии» вводится следующее число:

Определение: Асимметрией теоретического распределения случайной величины X называется отношение ее центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения:

A(X )= M (X 3 ).

σ 3

Рис. 16 Асимметрия распределения

Четвертый центральный момент служит для характеристики «островершинности» или «плосковершинности» графика плотности распределения.

Определение:

Эксцессом теоретического распределения

называется

величина

E(X )=

M (

4 )

−3 .

σ 4

M (

4 )

Замечание: Число 3 вычитается из выражения

так как для

широко

σ 4

распространенного в природе нормального закона распределения имеет место равенство

M (X 4 )= 3 (см. лекцию 9) и эксцесс характеризует отклонение закона распределения от

σ 4

нормального в ту или иную сторону.

Рис. 17 Эксцесс распределения

Замечание1: можно доказать, что для любого симметричного распределения случайной величины асимметрия равна 0. Асимметрия определяет, условно говоря, «перекос» графика плотности распределения.

Законы равномерного, показательного и нормального распределений

Закон равномерного распределения вероятностей

Определение: Закон распределения на интервале [a;b]случайной величины называется равномерным, если на этом интервале плотность распределения постоянна.

Примеры: 1) Интервал между прибытиями на станцию поездами метро составляет 5 минут. Пассажир в случайное время появляется на станции метро. Время ожидания пассажиром поезда есть случайная величина, подчиненная равномерному закону распределения на интервале [0;5].

2) Шкала измерительного устройства проградуирована в некоторых единицах. Ошибка округления измерения является случайной величиной, подчиненной равномерному закону распределения.

Теорема (о плотности равномерного распределения)

Если случайная величина X распределена равномерно на интервале [a;b], то ее плотность

равна	при_		x (− ∞;a)
0
f (x)=	1	при	x [a;b]

b − a		при	x (b;∞)
	0
Доказательство: Поскольку		вне интервала [a;b] случайная величина X не может

принимать значений, то вне этого интервала f (x)= 0 .

Поскольку ∞∫ f (x)dx =1 и, по определению равномерного закона распределения, на интервале

	−∞
[a;b]	f (x)= С и, значит, ∫b Cdx =1 .
		a
∫b Cdx = C∫b dx = Cx		ba = C(b − a)=1, значит, C =	1	. Теорема доказана.

			b − a
a	a

Найдем функцию распределения равномерной случайной величины. F(x)= ∫ f (x)dx .

−∞

Из свойств функции распределения очевидно, что при x (−∞; a) F (x)= 0 , а при x (b; ∞)

F(x)=1 .

При x [a;b]: F(x)= ∫x	dx		=		x		x	=	x − a	.



a	b − a			b − a		a			b − a

	0			при				x (− ∞;a)
F(x)=		x − a			при x [a;b] .

	b − a							x (b;∞)
	1			при

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке матан

#
18.09.2019545.23 Кб600Materialy_k_ekzamenu_po_MS.pdf
#
18.09.2019328.35 Кб584Дискретная случайная величина.pdf
#
18.09.2019196.4 Кб580Задания РГР, часть 3 Статистическая обработка данных.pdf
#
18.09.2019360.86 Кб585Непрерывная случайная величина.pdf
#
18.09.2019267.05 Кб579Основные понятия математической статистики.pdf
#
18.09.2019335.68 Кб580Основы комбинаторики.pdf
#
18.09.2019274.73 Кб579Проверка статистических гипотез.pdf
#
18.09.2019321.63 Кб578Статистические оценки параметров распределения.pdf
#
18.09.2019265.81 Кб579Элементы теории корреляции.pdf