Добавил:

qwerty228 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретная случайная величина

.pdf

Скачиваний:

584

Добавлен:

18.09.2019

Размер:

328.35 Кб

Скачать

☆

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. IV. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 138 с.

Лекция

Случайные величины: определение, классификация, способы задания. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения. Числовые характеристики случайных величин.

Дискретная случайная величина

Понятие о дискретной случайной величине

Определение: пусть дано некоторое множество чисел. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение из данного множества чисел, причем заранее не известно, какое именно.

Примеры: 1)		X - количество попаданий в мишень		при трех выстрелах. Очевидно,	что
X	{0;1;2;3}.
2) X - количество подбрасываний монеты до первого выпадения герба.
X	{1;2;3;...}.		T [0;t0 ].
3) T	- время ожидания пассажиром поезда метро:		T [0;t0 ].
Определение:		множество действительных чисел	M	называется дискретным, если	для
любого числа		x1 M найдется число ε > 0 такое, что в интервале (x1 −ε; x1 +ε) кроме

числаx1 нет других чисел из множества M .

Примеры: 1) любое конечное множество является дискретным

2)Множество натуральных чисел N = {1;2;3;4;...} и любое его подмножество является дискретным

3)никакой конечный или бесконечный интервал [a;b] не является дискретным множеством

Определение: Если случайная величина может принимать значения только из некоторого дискретного множества, то она называется дискретной случайной величиной (ДСВ).

Рассмотрим ДСВ X , которая может принимать значения x1 , x2 ,..., xn , с вероятностями p1 , p2 ,..., pn соответственно.

Таблица

x1	x2	………..	xn
p1	p2	……….	pn

называется рядом распределения дискретной случайной величины X . Замечание1: Для любого ряда распределения ДСВ верно равенство

p1 + p2 +... + pn =1 .

Действительно,	пусть событие Ai состоит в том,	что случайная величина X	принимает
значение xi и	A = A1 + A2 +... + An . Поскольку	случайная величина X	обязательно

принимает ровно одно из значений x1 , x2 ,..., xn , то A1 , A2 ,..., An - полная группа несовместных событий. Следовательно, P(A)= P(A1 )+ P(A2 )+... + P(An )=1.

Замечание 2: Произвольная таблица чисел

x1	x2	………..	xn
p1	p2	……….	pn

будет задавать ряд распределения некоторой случайной величины тогда и только тогда, когда pi [0;1] при i =1,2,...n и p1 + p2 +... + pn =1.

Замечание: обычно таблицу записывают так, чтобы выполнялись условия x1 < x2 <... < xn .

Многоугольник распределения и функция распределения

Определение: Пусть ДСВ X может принимать значения x1 , x2 ,..., xn , с вероятностями p1 , p2 ,..., pn соответственно. Ломаная, соединяющая точки (xi , pi ) и (xi+1 , pi+1 ) при i =1,2,..., n

называется многоугольником распределения случайной величины X .

Определение: Пусть дана случайная величина X . Функция F (x)= P(X < x), определенная

для всех действительных чисел x , называется функцией распределения случайной величины

X .

Пример: Пусть ДСВ X - количество выпадений «6» при трех подбрасываниях игральной кости. Составить ряд распределения, начертить многоугольник распределения, составить функцию распределения и начертить ее график.

Решение: Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. При этом, по формуле

Бернулли,												p				C	0		1	0			5	3	125			,			p = C	1	1 1	5	2	75		,
															=									=			≈ 0,579								=		≈ 0,347
															=									=	216		≈ 0,579						6	6	=	216	≈ 0,347
														0			3		6				6		216				1			3	6	6		216
p		= C		2		1	2			5 1				15
	2			3								=				≈ 0,069
									6			=	216			≈ 0,069
						6			6				216
p		= C		3		1	3			5 0				1
	3			3								=				≈ 0,005
									6			=	216			≈ 0,005
						6			6				216

					0											1									2				3
			125													75										15				1
		216													216										216				216
Проверка:								125		+		75	+		15		+		1	=		216		=1.
							216				216				216			216			216

Многоугольник распределения изображен ниже

Рис. 10 Пример: Многоугольник распределения

Пусть x ≤ 0 , тогда P(X < x)= 0 , значит, на промежутке (−∞;0) функция распределения

F (x)= 0 .
При x [0;1)							P(X < x)= P(X = 0)=										125		, значит, на этом промежутке F(x)=									125	≈ 0,579 .
При x [0;1)							P(X < x)= P(X = 0)=										125		, значит, на этом промежутке F(x)=								216		≈ 0,579 .
																216											216
При x [1;2)								P(X < x)= P(X = 0 или												X =1)=	125	+	75	=	200	и F (x)=	200		≈ 0,926 .
																					125		75		200		216
																							216
При x [2;3)																				216			216	216
При x [2;3)								P(X < x)= P(X =0 или X =1или X = 2)=
=	125	+		75	+				15	=			215	, F (x)=				215		≈ 0,995 .
=		+	216		+			216		=				, F (x)=						≈ 0,995 .
216			216					216		216						216
При x [3;∞)									P(X < x)					= P(X =0 или X =1или X = 2 или X =3)=
=	125	+		75		+			15		+	1		=	216	=1
=		+				+		216			+			=		=1
216			216					216		216				216
		0 при x (−∞;0)
				125			при x [0;1)
				125
				216
				216
F(x)=				200			при x [1;2)
F(x)=				216			при x [1;2)
				216
				215			при x [2;3)
				216			при x [2;3)
				216
				1 при x [3;∞)
				1 при x [3;∞)

Рис. 11 Пример: Функция распределения

Замечание: функция распределения любой дискретной случайной величины – кусочнопостоянная.

Свойства функции распределения:
1)	Функция F(x) - неубывающая
2)	lim F(x)= 0 , lim F(x)=1.
	x→−∞	x→∞
3)	F (x) [0;1]
Теорема (вероятность попадания ДСВ в заданный интервал)
Пусть	F (X )-	функция распределения дискретной случайной величины, тогда

P(a ≤ X < b)= F (b)− F(a)

Доказательство: пусть событие A состоит в том, что X < b , событие B состоит в том, что X ≤ a ,

событие C состоит в том, что a ≤ X < b .

Тогда P(A)= P(B +C)= P(B)+ P(C), т.е. P(X < b)= P(X < a)+ P(a ≤ X < b)

P(a ≤ X < b)= P(X < b)− P(X < a)= F(b)− F(a),

Теорема доказана.

Примеры дискретных случайных величин

Пусть производится n независимых испытаний в результате каждого из которых с вероятностью p может произойти событие A . Определим случайную величину X как число

появлений события A в n независимых испытаниях. Эта случайная величина может принимать значения 0,1,2,..., n , при этом P(X = k )= Cnk pk (1 − p)n−k .

Определение: Биномиальным распределением называется распределение вероятностей случайной величины, определяемое формулой Бернулли.

Замечание: распределение называется биномиальным, т.к. , согласно биному Ньютона

(a +b)n = Cn0 an +Cn1 an−1b +Cn2 an−2b2 +... +Cnn−1abn−1 +Cnn bn .

Если положить a = p,b =1 − p , то получим

Cn0 pn

+Cn1 pn−1 (1 − p)+Cn2 pn−2 (1 − p)2

+... +Cnn (1 − p)n

= (p +(1 − p))n =1n =1,

т.е. свойство p1 + p2

+... + pn =1

выполняется.

Пусть

производится

достаточно

большое

число

n независимых испытаний,

в каждом

из

которых

событие A может произойти с малой вероятностью

p . Будем считать, что np = λ

(это означает, что среднее

число

появлений

события

различных серях

испытаний

величина постоянная).

Поскольку p = λ

, то по формуле Бернулли

2)...(n − m +1)

(A)=

n(n −1)(n −

λ m

λ n−m

1 −

Поскольку число n достаточно велико, то можно приближенно считать, что

(A)≈ lim

n(n −1)(n −2)...(n −m +1) λ m

λ n−m

−

n→∞

λm

m −1

λ n−m

λm

n−m

λm

−λ

lim

1 −

... 1

−

1 −

= =

lim 1 −

n→∞

Определение: Если случайная величина может принимать целые значения 0, 1, 2, 3, …n… соответственно с вероятностями

−λ

λe

−λ

λ2 e−λ

λ3e

−λ

λn e−λ

,…,

где λ > 0 -

некоторый

параметр,

то

говорят, что случайная величина подчинена закону

распределения Пуассона.

Замечание1:

∞

−λ

= e−λ

∞

= e−λ eλ

=1 .

∑λ

n=0

Замечание

Распределение Пуассона

является законом распределения массовых

маловероятных событий (т.е. событий с достаточно малой вероятностью р)

Пример: Вероятность изготовления заводом недоброкачественной единицы продукции равна

p = 0,0002 .		Найти вероятность того, что			среди	5000 единиц продукции ровно 3
недоброкачественны.
Решение: p = 0,0002 , n = 5000 , k = 3 . Значит,					np = λ =1 .
P3	(A)= λ3e−λ	=	1	≈ 0,06 .

5000	3!		6e

Определение: Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примеры: поступление вызовов на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, прибытие клиентов в какую-либо сервисную фирму и т.п.

Определение: Поток событий называется стационарным, если вероятность появления m событий на любом промежутке времени зависит только от числа m и длительности этого

промежутка
Определение: Поток		событий обладает свойством отсутствия	последействия,	если
вероятность	появления	m событий в любом промежутке времени	не зависит от	того,

появлялись ли события до этого промежутка.

Определение: Поток событий обладает свойством ординарности, если вероятность появления двух или более двух событий за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления ровно одного события.

Определение: Простейшим (или пуассоновским) потоком событий называется поток,

обладающий свойствами стационарности, отсутствии последействия и ординарности.

Определение: Интенсивностью	потока	λ называется среднее число событий,
появляющихся в единицу времени.
Теорема (формула Пуассона)		λ , то вероятность появления m событий за
Если интенсивность простейшего потока равна		λ , то вероятность появления m событий за
промежуток времени длительности t	равна
Pt (m)= (λt)m e−λt .
m!

Без доказательства.

Пример: Среднее число клиентов, обращающихся в туристическую фирму за 1 час, равно 2. Найти вероятность того, что за 5 часов в фирму обратятся не менее двух клиентов.

Решение: Найдем вначале вероятность того, что в фирму обратятся менее двух клиентов, т.е. 0 или 1.

По условиюλ = 2, t = 5 . При m = 0 (ни одного обращения)

P (0)=	(2 5)0 e−2 5	=	1	,

5	0!		e10

при m =1 (одно обращение)

P5 (1)=	(2	5)1 e−2 5	10 .
			=
		1!		e10

И вероятность того, что в фирму обратятся менее двух клиентов равна

P = e101 + e1010 = e1110 ≈ 0,000495 .

Вероятность того, что за 5 часов в фирму обратятся не менее двух клиентов, равна 1 − P ≈1 −0,000495 = 0,999505 , т.е. событие практически достоверно.

Числовые характеристики ДСВ

Ряд распределения, многоугольник распределения и функция распределения исчерпывающе характеризуют ДСВ. Однако во многих практических задачах нет необходимости характеризовать случайную величину полностью. Часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты случайной величины; например, какое-либо среднее значение, вокруг которого группируются все возможные значения ДСВ, какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего и т.п.

Функции от случайных величин

Определение: Если ДСВ задана рядом распределения

………..

……….

и f (x)

- какая-либо функция одной действительной переменной, то случайная величина f (X )

определяется рядом распределения

f (x1 )

f (x2 )

………..

f (xn )

……….

Пример: Дан ряд распределения случайной величины X :

Составить ряды распределения случайных величин X −1,								X 2 , log2 X .
Решение:
	X −1	0		1		3		7		15
	p		1		1		3	1		1

		16			4		8		4	16
	X 2	1		4		16		64		256
	p		1		1		3	1		1

		16			4		8		4	16
	log2 X	0		1		2		3		4
	p		1		1		3	1		1

		16			4		8		4	16

Определение: если случайные величины X и Y заданы своими рядами распределения

………..

……….

………..

……….

f (x, y) - какая-либо функция двух переменных, то случайная величина Z = f (X ,Y )

определяется рядом распределения

f (x1 , y1 )

(x1 , y2 )

…..

f (x1 , yk )

f (x2 , y1 )

…

f (xn , yk )

s11

s12

…..

s1k

s21

…

snk

где sij = pi q j .

Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла вторая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Пример: Дискретные случайные величины X и Y заданы своими рядами распределения

X	-1	0	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2

Y	1	2	3
q	0,25	0,5	0,25

составить ряд распределения случайной величины Z = X Y .

Решение: Сначала формально составим ряд распределения в соответствии с его определением

Z	-1	-2	-3	0	0	0	1	2	3	2	4	6	3	6	9
s	0,05	0,1	0,05	0,05	0,1	0,05	0.05	0,1	0,05	0,05	0,1	0,05	0,05	0,1	0,05

Теперь перепишем таблицу, складывая вероятности одинаковых значений случайной величины Z :

Z	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	6	9
s	0,05	0,1	0,05	0,2	0,05	0,15	0,1	0,1	0,15	0,05

		Математическое ожидание ДСВ
Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины X с рядом
распределения

x1	x2	………..	xn
p1	p2	……….	pn
называется число		M (X )= x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn .

Замечание 1: для математического ожидания допустима также запись MX .

Замечание 2: математическому ожиданию можно дать механическую интерпретацию. Пусть x1 , x2 ,..., xn - точки на числовой прямой, которым приписаны массы p1 , p2 ,..., pn

соответственно. Тогда M (X )= x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn - координата центра тяжести множества

точек.

Замечание 3: если многоугольник распределения дискретной случайной величины X имеет ось симметрии x = x0 то M (X )= x0 .


Пример:					Найти математическое ожидание случайной величины X - количества выпадений
герба при четырех подбрасываниях монеты.
Решение: Случайная величина X																					может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.
p		= C		0	1		0	1			4	1			, p = C							1			1 1		1		3		1
											=																			=			,
											=	16																		=	4		,
	0			4	2			2				16					1					4				2	2				4
p		= C		2	1		2	1			2	3			p			= C		3			1			3	1 1			1
	2			4							=			,		3				4									=			,
											=	8		,															=	4		,
					2			2				8											2				2			4
				4	1		4	1			0	1
p4 = C4											=				.
p4 = C4											=	16			.
					2			2				16

		0						1									2										3						4
			1							1									3									1						1
		16						4									8										4						16
M (X )= 0						1	+1		1		+ 2		3		+3			1	+ 4					1	= 2 .
M (X )= 0					16		+1				+ 2				+3		4		+ 4				16		= 2 .
					16			4				8					4						16
Теорема (свойства математического ожидания)
		1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: M (С)= С .
		2)		Постоянный множитель можно выносить за знак M (X ): M (СX )= СM (X ).
		3) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно
				произведению математических ожиданий: M (XY )= M (X ) M (Y ).
		4) Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
				M (X +Y )= M (X )											+ M		(Y ).

Без доказательства.

Следствие 1: Математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий:

M (X −Y )= M (X )− M (Y ).

Следствие 2: M (X1 + X 2 +... + X n )= M (X1 )+ M (X 2 )+... + M (X n ).

Дисперсия ДСВ
Определение: Пусть X - дискретная случайная величина с математическим	ожиданием
M (X ). Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X	называется

дискретная случайная величина X = X − M (X ).

Замечание: M (X )= 0 .

Действительно, воспользуемся первой частью теоремы о свойствах математического ожидания и следствием из нее:

M (X )= M (X − M (X ))= M (X )− M (M (X ))= M (X )− M (X )= 0 .

Определение: Моментом порядка k дискретной случайной величины X называется

M (X k )= x1k p1 + x2k p2 +... + xnk pn .

Определение: Центральным моментом порядка k дискретной случайной величины X называется M (X k )= M ((X − M (X ))k ).

Пример: M (X 2 )= M ((X − M (X ))2 )= M (X 2 −2XM (X )+(M (X ))2 )= = M (X 2 )−2M (X )M (X )+(M (X ))2 = M (X 2 )−(M (X ))2

Определение: Дисперсией дискретной случайной величины X называется центральный момент второго порядка D(X )= M ((X − M (X ))2 ).

Замечание1: D(X )= M ((X − M (X ))2 )= M (X 2 )−(M (X ))2 ,

Замечание2: Из определения дисперсии следует, что D(X )= ∑n (xi − M (X ))2 pi . Поскольку

i=1

величина (xi − M (X ))2 равна квадрату расстояния между точками xi и M (X ) на числовой

прямой, то дисперсия равна сумме квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания, умноженных на соответствующие вероятности.

Замечание 3: С механической точки зрения дисперсия равна моменту инерции заданного распределения масс относительно математического ожидания.

Замечание 4: Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D(X )≥ 0 . Пример: Найти дисперсию ДСВ, заданной рядом распределения


X	1		2					3						4
p		1		3					3					1
		8		8					8					8		9 + 4
Решение: Первый способ M (X )=1					1	+ 2	3	+3		3	+ 4	1	=	1 +6 +		9 + 4	= 2,5
Решение: Первый способ M (X )=1					8	+ 2	8	+3		8	+ 4	8	=		8		= 2,5
					8		8			8		8			8

D(X )= (1 − 2,5)2 18 + (2 − 2,5)2 83 + (3 − 2,5)2 83 + (4 − 2,5)2 18 = 0,75

Второй способ

D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2

Дискретная величина X 2 имеет ряд распределения


X 2			1					4					9			16
p				1					3					3		1
				8					8					8			8
M (X 2 )=1	1	+ 4	3		+9	3	+16	1		=	1 +12 + 27 +16				= 7
M (X 2 )=1	8	+ 4	8		+9	8	+16	8		=		8			= 7
	8		8			8		8				8
D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2							= 7 −6,25 = 0,75 .

Определение: Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется

σ(X )= D(X ).

Замечание: эта величина вводится для наглядной характеристики рассеивания. Ее размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Теорема (свойства дисперсии)

1)Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)= 0 .

2)Постоянный множитель можно выносить за знак D(X ), возведя его в квадрат:

D(СX )= С2 D(X ).

3)Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X +Y )= D(X )+ D(Y ).

4)Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X −Y )= D(X )+ D(Y )

Без доказательства.

Следствие 1: Если X - ДСВ, а C - постоянная величина, то

D(X +C)= D(X ).

Определение: Случайные величины X1 , X 2 ,..., X n называются взаимно независимыми, если

законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Следствие	2: Если X1 , X 2 ,..., X n	- взаимно независимые случайные величины,
тоD(X1 + X 2	+... + X n )= D(X1 )+ D(X 2 )+... + D(X n ).

Пример 1: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения.

Решение: Пусть производится серия из n независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие A . Вероятность появления события A в каждом из опытов равна p .

Пусть X1 - количество появлений события A в первом испытании. Очевидно, что, X1 {0;1}. Аналогично обозначим X 2 - количество появлений события A во втором испытании, X 3 -

количество появлений события A в третьем испытании и т. д. При этом для каждой из случайных величин X1 , X 2 ,...X n ряд распределения имеет вид

X i		0	1
вероятность		1 − p	p
и X = X1 + X 2 +... +	X n . По следствию из		теоремы о свойствах	математического ожидания:
M (X )= M (X1 )+ M (X 2 )+... + M (X n ).
M (X i )= 0 (1 − p)+1 p = p , значит, M (X )= M (X1 )+ M (X 2 )+... + M (X n )= np .
Поскольку M (X i2 )= 02 (1 − p)+12 p = p и D(X i )= M (X i2 )−(M (X i ))2 , то
D(X i )= p − p2 = p(1 − p), то

по следствию из теоремы о свойствах дисперсии:

D(X1 + X 2 +... + X n )= D(X1 )+ D(X 2 )+... + D(X n )= np(1 − p).

Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной закону распределения Пуассона.

Решение: P(X = k )=

λk e−λ .

−λ

k −1

∞

M (X )= ∑k λ

= e−λ

∑

= λe−λ ∑

(k −1)!

k =0

k =1

= λe−λ ∑λ

= λe−λ eλ = λ .

∞

n=0 n!

(n +1)λ

∞

−λ

∞

n+1

M (X 2 )= ∑k 2 λ

= e−λ ∑

kλ

= e−λ ∑

k =0

+1)λ

−λ

k =1 (k −1)!

n=0

= λe−λ ∑(n

= λe

∑nλ

∑λ

= λe−λ (λeλ +eλ )= λ2 +λ .

∞

n=0

n=0 n!

D(X )= λ2 +λ −λ2 = λ

Соседние файлы в папке матан

#
18.09.2019545.23 Кб600Materialy_k_ekzamenu_po_MS.pdf
#
18.09.2019328.35 Кб584Дискретная случайная величина.pdf
#
18.09.2019196.4 Кб580Задания РГР, часть 3 Статистическая обработка данных.pdf
#
18.09.2019360.86 Кб585Непрерывная случайная величина.pdf
#
18.09.2019267.05 Кб579Основные понятия математической статистики.pdf
#
18.09.2019335.68 Кб580Основы комбинаторики.pdf
#
18.09.2019274.73 Кб579Проверка статистических гипотез.pdf