2. Вычислим реакции опор

R_B = (q₁*4*(4/2) - M₁ + q₂*2*(6 + 2/2) - P₁*8) / 6 = (12*4*(4/2) - 6 + 12*2*(6 + 2/2) - 12*8) / 6 = 27 (кН)

R_A = (q₁*4*(6 - 4/2) + M₁ - q₂*2*(2/2) + P₁*2) / 6 = (12*4*(6 - 4/2) + 6 - 12*2*(2/2) + 12*2) / 6 = 33 (кН)

3. Выполним проверку ΣF_y = 0:

R_A - q₁*4 + R_B - q₂*2 + P₁ = 33 - 12*4 + 27 - 12*2 + 12 = 0

II. Построение эпюр.

1-й участок 0 ≤ x₁ < 2

Q(x₁) = + R_A - q₁*(x₁ - 0)

Q₁(0) = 33 - 12*(0 - 0) = 33 (кН)

Q₁(2) = 33 - 12*(2 - 0) = 9 (кН)

M(x₁) = + R_A*(x₁) - q₁*(x₁)²/2

M₁(0) = 33*0 - 12*(0 - 0)²/2 = 0 (кН*м)

M₁(2) = 33*0 - 12*(2 - 0)²/2 = 42 (кН*м)

2-й участок 2 ≤ x₂ < 4

Q(x₂) = + R_A - q₁*(x₂ - 0)

Q₂(2) = 33 - 12*(2 - 0) = 9 (кН)

Q₂(4) = 33 - 12*(4 - 0) = -15 (кН)

M(x₂) = + R_A*(x₂) - q₁*(x₂)²/2 – M₁

M₂(2) = 33*2 - 12*(2 - 0)²/2 – 6 = 36 (кН*м)

M₂(4) = 33*4 - 12*(4 - 0)²/2 – 6 = 30 (кН*м)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения: x = 2,75. Локальный экстремум в этой точке:

M₂(2,75) = 33*2,75 - 12*(2,75 - 0)²/2 - 6 = 39,38 (кН*м)

3-й участок 4 ≤ x₃ < 6

Q(x₃) = + R_A - q₁*(4 - 0)

Q₃(4) = Q₃(6) = 33 - 12*(4 - 0) = -15 (кН)

M(x₃) = + R_A*(x₃) - q₁*(4 - 0)*[(x₃ - 4) + (4 - 0)/2] - M₁

M₃(4) = 33*4 - 12*4*(0 + 2) - 6 = 30 (кН*м)

M₃(6) = 33*6 - 12*4*(2 + 2) - 6 = 0 (кН*м)

4-й участок 6 ≤ x₄ < 8

Q(x₄) = + R_A - q₁*(4 - 0) + R_B - q₂*(x₄ - 6)

Q₄(6) = 33 - 12*(4 - 0) + 27 - 12*(6 - 6) = 12 (кН)

Q₄(8) = 33 - 12*(4 - 0) + 27 - 12*(8 - 6) = -12 (кН)

M(x₄) = + R_A*(x₄) - q₁*(4 - 0)*[(x₄ - 4) + (4 - 0)/2] - M₁ + R_B*(x₄ - 6) - q₂*(x₄ - 6)²/2

M₄(6) = 33*6 - 12*4*(2 + 2) - 6 + 27*(6 - 6) - 12*(6 - 6)²/2 = 0 (кН*м)

M₄(8) = 33*8 - 12*4*(4 + 2) - 6 + 27*(8 - 6) - 12*(8 - 6)²/2 = 0 (кН*м)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения: x = 7. Локальный экстремум в этой точке:

M₄(7) = 33*7 - 12*4*(3 + 2) - 6 + 27*(7 - 6) - 12*(7 - 6)²/2 = 6 (кН*м)

III. Подбор сечения.

Прямоугольное сечение балки подбираем из условия прочности при допускаемом напряжении: R_y=160 Мпа

Момент сопротивления прямоугольного сечения определим по формуле:

Требуемый момент сопротивления:

Поскольку дано соотношение сторон, то

Билет #7

Дано: q=12 кН/м, M=24 кН*м, F=12 Н.

Вычислить размеры балки прямоугольного сечения h/b=2, если R_y=160 МПа.

Решение: I. Определение опорных реакций.

1. Рассмотрим равновесие балки.

ΣF_x = 0: H_A = 0

ΣM_A = 0: M₁ - q₁*3*(1 + 3/2) + R_B*6 + P₁*8 – q₂*2*(6 + 2/2) = 0

ΣM_B = 0: - R_A*6 + q₁*3*(5 - 3/2) + M₁ + P₁*2 - q₂*2*(2/2) = 0

2. Вычислим реакции опор

R_B = (q₁*3*(1 + 3/2) - M₁ - P₁*8 + q₂*2*(6 + 2/2)) / 6 = (12*3*(1 + 3/2) - 24 - 12*8 + 12*2*(6+2/2)) / 6 = 23 (кН)

R_A = (q₁*3*(5 - 3/2) + M₁ - q₂*2*(2/2) + P₁*2) / 6 = (12*3*(5 - 3/2) + 24 - 12*2*(2/2) + 12*2) / 6 = 25 (кН)

3. Выполним проверку ΣF_y = 0:

R_A - q₁*3 + R_B - q₂*2 + P₁ = 25 - 12*3 + 23 - 12*2 + 12 = 0