41. Застосування граничного аналізу при розв'язуванні задач оптимізації в економіці. Приклади.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економіч­них об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об'єкта. Та­ким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об'єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких ви­падках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно ви­користовувати граничні величини.

Розглянемо, як приклад, співвідношення між середнім та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний доход (виручка) від реалізації продукції r можна визначи­ти як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q, тобто r = pq.

В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозицію певної продукції, а отже і її ціну При цьому, як правило, зі збільшенням ціни попит на продукцію падає. Вважаємо, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту р (q) є лінійна спадаюча функція p = aq + b , де а < 0, b>0 . Звідси сумарний доход від реалізованої продукції складає r = (aq + b)q = aq² +bq (див. рис. 4.22). В цьому випадку середній доход на одиницю продукції r_сер = , а граничний прибуток, тобто додатковий доход від реалізації одиниці додаткової продукції, складатиме (див. рис. 4.22). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зрос­танням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього прибутку.

В умовах досконалої конкуренції, коли на ринку функціонує велика кількість учасників і кожна фірма не спроможна контролювати рівень цін, стабільна реалізація продукції можлива при домінуючій ринковій ціні, наприклад, р = b. При цьому сумарний прибуток складатиме r = bq i відпові­дно середній прибуток r_сер = ; граничний прибуток (див. рис. 4.23). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від мо­нопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Приклад: Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією у = 50х - 0,05х³ (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.

Розв'язок: Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражаєть­ся відношенням при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють (грош. од.). Функ­ція граничних витрат виражається похідною у'(x) = 50-0,15x² ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15·10² =35 (грош. од.). Отже, як­що середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додатко­вої одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продук­ції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

№42.Область визначення функції багатьох змінних.Інтерпритація в економіці.

Нехай D Rn – довільна множина n-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х1,…,хn) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х1,…,хn), то кажуть, що на множині D задана числова функція f : Rn R від n змінних х1…,хn. Множина D називається областю визначення.

Область визначення функції - це множина всіх значень змінної x, при яких функція має зміст.Знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою можна:

1.    Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.

2.    Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.

3.    Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь, то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід'ємних значень.

Одним із базових понять економічної теорії є функція корисності, що

виражає корисність придбання різновидностей товарів. Часто вона

використовується у формах:

- логарифмічна функція;

- функція постійної еластичності.

Функція Кобба - Дугласа - виробнича функція, яка характеризує залежність

об'єму випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів.

№44.Похідна за напрямом. Градієнт функції, його властивості.

Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом.

Область простору кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини , називають скалярним полем.

Нехай задано скалярне поле . Візьмемо в ньому точку і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси якого .

На векторі на відстані від його початку візьмемо точку . Тоді

.

Обчислимо тепер приріст функції при переході від точки М до точки в напрямі вектора :

.

Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом

Фізичний зміст цього результату такий: зміна напряму на протилежний не впливає на значення швидкості зміни поля , а тільки на характер зміни поля . Якщо, наприклад, в напрямі поле зростає , то в напрямі воно спадає , і навпаки .

Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.

Для скалярного поля градієнт визначається формулою

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання

№45.Лінії і поверхні рівня, їх економічна інтерпретація

Означення 1.Змінна z зветься функцією незалежних змінних х та у, якщо кожній парі (Х,У) з деякої області їх змінювання відповідає певне значення величини z.

Означення2. Лінією рівня функції z=f(x,y) називається множина точок (х,у) площини хОу. В яких функція набуває одного й того самого значення С і визначається співвідношенням f(x,y)=С.

При різних С дістанемо різні лінії рівня для данної функції. Вони утворюють топографічну карту графіка функції f. Якщо вибрати числа С_1, С_{2,……….,} С_п так, щоб вони утворювали арифметичну прогресію з різницею d, то отримаємо ряд ліній рівня, по взаємномо розміщення яких можна судити про графік функції. Там де лінії розміщуються густіше, функція змінюється швидше, а де рідше – функція змінюється повільніше (поверхня вологіша).

Приклад:

Побудувати графік функції z=х²+у²+1

Візьмемо: z=1, тоді х²+у²+1=1, тобто х²+у²=0 – це точки (0;0); z =2, тоді х²+у²=1 – це коло з центром в початку координат і радіусом 1.

С ім*ю знайдених ліній зображено на малюнку 79. ЯФкщо тепер кожну з ліній розмістити у відповідній площині, то дістанемо зображення графіка функції z=х²+у²+1 (мал.80)

Відмітимо, що лінії рівня широко використовуються в топографії. На топографічних картах нанесені лінії рівня, відстань між якими постій і дорівнює h. Величина h вказана на карті (наприклад, h=3м.) і дозволяє ефективно використовувати умови місцевості.

№46.Дослідження функції багатьох змінних на екстремум

Означення. Якщо для функції z =f (x, y) , визначеній в деякій області, в

деякому околі точки М0(х0,у0) виконується нерівність f (x₀, y₀) > f (x, y) то точка М0 називається точкою максимуму.

Означення. Якщо для функції z f (x, y) , визначеній в деякій області, в

деякому околі точки М0(х0,у0) виконується нерівність f (x₀, y₀) < f (x, y) то точка М0 називається точкою мінімуму.

Теорема. (Необхідні умови екстремуму). Якщо функція f (x, y) в точці

(х0,у0) має екстремум, то в цій точці або обидві її частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю , f^І _х(x, y)=0, , f^І _у(x, y)=0 або хоча б одна з них не існує.Цю точку (х0, у0) будемо називати критичною точкою.

Теорема. (Достатні умови екстремуму). Нехай в околі критичної точки (х0,у0) функція f (x, y) має неперервні частинні похідні до другого порядку включно.Розглянемо вираз:

D (x y) =f^II _x^2(x y) f^II _y^2(x y)-( f^II _xy(x y))²

1) якщо D(x0, y0) > 0, то в точці (х0, у0) функція f (x, y) має екстремум, якщо

f^II _x^2(x₀ y₀)<0 - максимум,якщо f^II _x^2(x₀ y₀)>0 - мінімум;

2) якщо D(x0, y0) < 0, то в точці (х0, у0) функція f (x, y) не має екстремуму;

У випадку, якщо D = 0, висновок про наявність екстремуму зробити не можна.

Для знаходження екстремумів функції багатьох змінних z= f (x, y) доцільно діяти внаступному порядку

1 знайти область визначення функції

2. знайти частинні похідні першого порядку z^І_х і z^І_у

3.визначити критичні точки функції, тобто такі х та у, при яких z^І_х і z^І_у не існують або дорівнюють нулю, і які належать області визначення функції

4. знайти частинні похіхді другого порядку z^ІІ_{х^2, ,} z^ІI_х^2, z^ІI_хy

5. застосувати достатню ознаку ыснування екстремуму функцыъ в кожный критичный точцы, тобто обчислити:

D (x_к y_к) =f^II _x^2(x_к y_к) f^II _y^2(x_к y_к)-( f^II _xy(x_к y_к))²

6. в кожній точці зробити висновок

№47. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Для того щоб знайти найбільше або найменше значення неперервної функції

z= f (x, y) в обмеженій замкнутій області, потрібно знайти всі максимуми або мінімуми функції, які досягають в середені цієї області, а також найбільше або найменше значення функції на межі лбласті. Найбільше з усіх цих чисел і буде шуканим найбільшим значенням, а найменше – найменшим.

№81. Ознака Деламбера

Теорема 9 (ознака Даламбера). Якщо для ряду з додатними членами існує границя тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

№48.Умовний ектремум фуекції багатьох змінних.Метод Лангранджа

В багатьох  задачах на пошук найбiльших та найменших значень функцiї, питання зводиться до пошуку екстремумiв функцiї вiд декiлькох змiнних, котрi не є незалежними, а пов'язанi одна з одною деякими додатковими умовами (наприклад рiвнянням). Такий екстремум називається умовним.

Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень в усіх точках деякого інтервалу, який містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2+x) > f(x2) при будь-якому х (х може бути і від‟ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум лише в точках, які знаходяться всередині цього відрізку. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні. Означення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль в цій точці. Наслідок. Обернене твердження невірне. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х=0 дорівнює нулю, однак в цій точці функція має лише перегин, а не максимум або мінімум.

Означення. Критичними точками функції називаються точки, в яких похідна функції не існує або дорівнює нулю. Розглянута теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

Приклад: f(x) = x Приклад: f(x) = 3х

В точці х=0 функція має мінімум, але не має похідної. В точці х=0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної.

Взагалі кажучи, функція f(x) може мати екстремум в точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму). Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), який містить критичну точку х1, і диференційована в усіх точках цього інтервалу (окрім, можливо, самої точки х1).

Якщо при переході через точку х1 зліва направо похідна функції f(x) змінює знак з “+” на “-“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна змінює знак з “-“ на “+”- то функція має мінімум.

Для знаходження умовного екстремуму використовують метод Лагранжа.

Спочатку складаємо функцію Лагранжа. Прирівнюємо до нуля її частинні похідні. Із рівнянь і знаходимо координати критичних точок.

Нехай в точці х=х1 f(x1)=0 і f(x1) існує і неперервна в деякому околі точки х1. Теорема. Якщо f(x1) = 0, то функція f(x) в точці х=х1 має максимум, якщо f(x1)<0 і мінімум, якщо f(x1)>0. Якщо f(x)=0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

№49. Оптимізаційні задачі в економіко-математичному моделюванні витрат торговельних підприємств

Економічна енциклопедія трактує оптимальність (від латинської “optimus” – найкращий) як найкращий спосіб вирішення проблеми, економічної поведінки, економічних дій.

Критерій оптимальності визначається як система показників, що використовуються у різних галузях науки, техніки, економіки для обрання найефективнішого варіанта розв'язання певної задачі з кількох можливих варіантів.

Процес оптимізації пов’язаний із визначенням значень економічних показників, за яких досягається оптимум, тобто найкращий стан системи. Найчастіше оптимуму відповідає досягнення найкращого результату при даних витратах ресурсів або досягнення заданого результату при мінімальних ресурсних витратах.

При розрахунках оптимальних норм використовують економіко-математичні методи, за допомогою яких визначають рівень, що забезпечує за певних обмежень досягнення заданого критерію.

Пошук реальних оптимальних норм чи показників ефективності господарської діяльності є, як правило, складною задачею і відноситься до екстремальних задач, в яких необхідно визначити максимум чи мінімум (екстремум) функції при визначених обмеженнях. Розв’язування екстремальної економічної задачі складається з побудови економіко-математичної моделі, підготовки інформації, отримання оптимального плану, економічного аналізу отриманих результатів і визначення можливостей їх практичного застосування.

Вимога досягти максимальної ефективності торговельної діяльності при мінімальних витратах як постановка математичної задачі є некоректною. Мінімальні витрати – нульові, що має місце при повній відсутності будь-якого процесу господарської діяльності. Аналогічно максимальна ефективність може бути досягнута лише у випадку понесення певних (звичайно не нульових) витрат. Тому коректними є постановки задач такого типу: досягти максимальної ефективності при заданих витратах чи досягти заданого ефекту при мінімальних витратах.

Представимо схематично систему оптимізації витрат торговельного підприємства (рис. 1).

Рис. 1. Система оптимізації витрат [2, с.10]

Параметри с_k (k=1, 2, ..., l) є кількісними характеристиками системи щодо наявності засобів праці (торговельних площ, живої праці, складських приміщень), рівня витрат і доходів підприємств торгівлі, продуктивності праці, ставок податків, процентів за кредит, цін на закупівлю товарів тощо.

Незалежні змінні бувають двох видів: керовані x_j – (j=1, 2, ..., n), значення яких можна змінювати в деякому інтервалі; некеровані змінні y_i (і=1, 2, ..., m), значення яких не залежать від діяльності підприємства і визначаються зовнішнім середовищем.

Кожна економічна система має мету (ціль) розвитку та функціонування F. Ступінь досягнення мети, здебільшого, має кількісну міру, тобто може бути описаний математично:

F = f (x₁, x₂, ..., x_n; y₁, y₂, ..., y_m, c₁, c₂, ..., c_l) (1)

В загальному вигляді задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення керованих змінних xj, щоб цільова функція F набувала екстремального (максимального чи мінімального значення).

Отже, потрібно відшукати значення:

max (min) F= f (x₁, x₂, ..., x_n; y₁, y₂, ..., y_m, c₁, c₂, ..., c_l) (2)

Можливості вибору x_j завжди обмежені зовнішніми щодо системи умовами, параметрами економічної системи і т. ін.

Обсяг діяльності обмежений наявністю торговельних площ, продавців, купівельною спроможністю населення, необхідністю виконання договірних зобов’язань тощо. Ці процеси можна описати системою математичних рівностей та нерівностей виду

(3)

Система (3) називається системою обмежень, або системою умов задачі. Вона описує внутрішні економічні процеси функціонування й розвитку торговельно-економічної системи, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи. Для економічних систем змінні хj мають бути невід’ємними:

(4)

Залежності (2)-(4) становлять економіко-математичну модель економічної системи, розробляючи яку необхідно дотримуватися наступних правил: модель має адекватно описувати реальні економічні процеси; у моделі потрібно враховувати лише все істотне в досліджуваному процесі; модель має бути зрозумілою для користувача, зручною для реалізації на ЕОМ.

№50.Первісна та невизначений інтеграл

Поняття первісної ф-ції та невизначеного інтеграла.

Первісною ф-цією для даної ф-ції f(x) називають ф-цію F(x) таку, що f(x)=F’(x) або f(x)dx=dF(x).

Теорема про множину первісних:

Будь-які 2 первісні однієї і тієї ж ф-ції відрізняються тільки на постійний доданок. F₂(x)=F₁(x+c).

Всю множину первісних F9x)+с для ф-ції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають:

 f(x)dx = F(x)+c. Геометрично не визначений  представляє множину інтеграл прямих.

№69  Рівняння з відокремленими змінними  

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку        (12.1)

праву частину можна подати у вигляді  то  (за умови, що )  це рівняння можна записати та       (12.2) Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за , а справа за , отримаємо      (12.3) Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах  та  стоять відповідно функції, залежні тільки від  чи тільки від , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.Диференціальне рівняння вигляду  (12.4) називається рівнянням з відокремлюваними змінними.Справді, якщо , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на . Маємо

і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд

.

№82.Ознака Коші (радикальна)

Теорема 10 (ознака Коші (радикальна)). Якщо для ряду з додатними членами існує границя , тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

№70 Однорідні рівняння

Нехай рівняння має вигляд .Якщо функції та однорідні одного ступеня, то рівня­ння називається однорідним. Нехай функції та однорідні ступеня , тобто

Робимо заміну . Після підстановки одержуємо , або . Скоротивши на і розкривши скобки, запишемо .

Згрупувавши, одержимо рівняння зі змінними, що розділяються ,або .Взявши інтеграли та замінивши , отримаємо загальний інтеграл .

№71 Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Диференціальне рівняння називається лінійним відносно невідомої функції і її похідної, якщо воно може бути записано у вигляді: y'+P(x)y=Q(x) при цьому, якщо права частина Q(x) дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням, якщо права частина Q(x) не дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням. P(x) і Q(x) - функції неперервні на деякому проміжку a<x<b. ).

№77.Числові ряди. Основні поняття.

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {a_n}=a₁,a₂,…,a_n,…    .

Тоді вираз   a₁+a₂+…+a_n+…= називають числовим рядом, а доданок a_n - загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S₁=a₁ ;

S₂=a₁+a₂ ;

…………..

S_n=a₁+a₂+…+a_n ;

…………….

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

№72. Диференціальні рівняння вищих порядків. Зниження порядку диференціального рівняння

Диференціальне рівняння F ( x, y, y ' , ... , y ^{( n )} ) = 0 .

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд: y ^{( n )} = f ( x, y, y ' , ... , y ^{( n−1)} ) .

Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію y = y (x) , n - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам y (x₀) = y₀, y'(x₀) = y₀, ... , y^{( n−1)}( x₀) = y₀⁽ⁿ⁻¹⁾ . Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку y = y (x) , що задовольняє початковим даним y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y₀, ... , y^{(n −1)}(x₀) = y₀^{(n −1)}, y⁽ⁿ⁾(x₀) = y₀⁽ⁿ⁾, де значення x₀, y₀, y'₀, ... , y₀⁽ⁿ⁻¹⁾ довільні, а y₀⁽ⁿ⁾

один з коренів алгебраїчного рівняння F (x₀, y₀, y₀' , ... , y⁽ⁿ⁾) = 0

Загальним розв’язком диференціального рівняння n -го порядку

Називається n-раз неперервно диференційована функція y = y(x, C₁, C₂, ... , C_n) , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих C₁, ... , C_n можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до (k − 1) -порядку включно F (x, y^(k), y^{(k +1)} ... , y⁽ⁿ⁾) = 0, зробивши заміну:

y^(k)=z , y^{(k +1)}= z' , ... , y ⁽ⁿ⁾= z^(n−k) одержимо рівняння (n − k )-порядку

F (x, z , y ' , ... , z^(n−k)) = 0

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної F (y, y' , ... , y⁽ⁿ⁾) = 0 . Будемо вважати, що y - нова незалежна змінна, а y', ... , y⁽ⁿ⁾ - функції від y. Тоді

y'_x = p(y),

Після підстановки одержимо

Диференціальне рівняння (n−1)-порядку.

№76.Приклад застосовання різницевих рівнянь та її систем в економіці

Розглянемо деякі приклади застосування теорії різнецевих рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час .Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.

1. Модель природного росту випуску продукції

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Позначимо через кількість реалізованої продукції за час тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво. Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій

2. Ріст випуску в умовах конкуренції

В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай спадна функція, тобто із збільшенням об'єму продукції на ринку ціна на нього не падає ( ). При еластичному попиті, тобто коли і графік функції має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті напрям випуклості функції вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).

3. Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу .Інтегральні криві рівняння. Якщо в початковий момент часу то і криві йдуть вниз від рівноважного розв'язку , тобто національний дохід з часом падає при заданих параметрах задачі і оскільки показник в експоненти додатний. Якщо ж то і національний дохід росте – інтегральні лінії йдуть вверх від рівноважного розв'язку Для автономного диференціального рівняння стаціонарна точка є точкою нестійкої рівноваги.

№73.Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння.

Л. Єйлер розробив загальний метод розв’язку лінійних ДР зі сталими коефіцієнтами

(1) а₀у⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n – 1)} + a₂y^{(n – 2)} + … + a_ny = 0, a₀  0.

Загальний розв’язок ДР має вид

(2) у = С₁у₁(х) + С₂у₂(х) + … + С_ny_n(x),

де частинний розв’язок у = у_k(k) (k = 1, 2, …, n) лінійно незалежні розв’язки однорідного ДР (1). Розв’язок у = у_k(х) (k = 1, 2, …, n) будуть лінійно незалежні, якщо відповідний їм визначник Вронского відрізняється від нуля, тобто

(3)

Частинні розв’язки ДР (1) шукаємо у виді у = е^рх.

Знаходимо похідні у

у = е^рх, у = ре^рх, у = р²е^рх, …, у⁽ⁿ⁾ = рⁿе^рх.

і, підставляючи в ДР, приходимо до рівняння

(а₀рⁿ + a₁p^{n – 1} + a₂p^{n – 2} + … + a_n)e^px = 0.

Якщо e^px  0, то отримаємо рівняння

(4) L(p)  a₀pⁿ + a₁p^n–1 + a₂p^n–2 + … +a₀ = 0

для визначення сталої величини р.

Означення: Рівняння (4) називається характеристичним рівнянням. Корені рівняння (4) називається характеристичними показниками.

Якщо всі корені Р₁, Р₂, …, Р_n рівняння (4) різні, то всі частинні розв’язки

ДР (1) будуть лінійно незалежні. Визначник Вронского має вид

Останній визначник є визначником Вандермонда і при різних р₁, р₂, …, р_n відрізняється від нуля.

Отже, у випадку, коли всі характеристичні показники р₁, р₂, …, р_n ДР (1) різні, то загальний розв’язок ДР має вид

.

№74.Різницеві рівняння.Основні поняття сітки та сіткової функції. Лінійне рівняння відносно сіткової функції ,

де , – коефіцієнти; – сіткова функція впливу; , – називають лінійним різницевим рівнянням -го порядку. Воно містить значення функції – від до .

Користуючись формулами для кінцевих різниць , , можна виразити значення через та вказані різниці:

;

.і так далі.

У результаті з цього рівняння отримаємо новий запис різницевого рівняння порядку m:

, .

Саме завдяки такій формі запису рівняння називають різницевим.

Методи скінченних різниць, методи сіток — чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри, диференціального, інтегрального числення, основані на заміні диференціальних операторів різницевими операторами, інтегралів — сумами, а функцій неперервного аргументу — функціями дискретного аргументу. Така заміна приводить до системи, взагалі кажучи, нелінійних алгебраїчних рівнянь, які зрештою зводяться до лінійної системи деяким ітераційним методом. Якщо початкова задача має вигляд

де — циліндрова область інтеграції — межа області , ,,— її основа, — шукана вектор-функція і — задані вектор-функції, — просторовий векторний аргумент, і — оператори (не обов'язково обмежені), то найпростіша схема інтеграції початкового рівняння має вигляд:

Тут — сіткова функція, що є розв'язком різницевого рівняння, — різницеві оператори, залежні від параметрів , сітки , , — сіткова область, що апроксимує деяким чином область , — її границя і — сіткові функції, що апроксимують функції і відповідно. Окремим випадком схеми (2) є схема з вагами, коли , — ваговий коефіцієнт.

№75 Лінійні звичайні різницеві рівняння.

Лінійне рівняння відносно сіткової функції ,

де , – коефіцієнти; – сіткова функція впливу; , – називають лінійним різницевим рівнянням -го порядку. Воно містить значення функції – від до .

Користуючись формулами для кінцевих різниць , , можна виразити значення через та вказані різниці:

;

.і так далі.

У результаті з цього рівняння отримаємо новий запис різницевого рівняння порядку m:

, .

Саме завдяки такій формі запису рівняння називають різницевим.

№78.Основні властивості рядів.

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ( ).

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та . Нехай для всіх значень індексу i виконується a_ib_i . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду .

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя .Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо , то ряд є збіжним.

Абсолютна збіжність рядів

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

№79. Ряди, що збігаються. Необхідна умова збіжності рядів.

Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя послідовності частинних сум ряду

При цьому величина називається сумою ряду.