1. Теорема РолляТеорема. Нехай функція задовольняє умовам:1) визначена і неперервна на відрізку 2) диференційована в інтервалі ;3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу  знайдеться хоча б одна точка  в якій .Д о в е д е н н я.Випадок.  Функція  на відрізку  є сталою: . Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива. 2. Теорема Лагранжа             Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу  знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

  Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію

,

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді,  на відрізку  є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу  має похідну

;

.Отже, існує точка  в якій  або, що саме,

звідси

3. Теорема Коші

Теорема. Нехай: 1) функції  і   задані і неперервні на відрізку ; 2) диференційовані в інтервалі ; 3) похідна  всередині інтервалу  не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу  знайдеться така точка , що має місце рівність

 

№33.Обчислення границь за правилом Лопіталя

Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому

Вважатимемо, що х0 – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка , для якої або тому, що . Оскільки за умовою існує , якщо , то з рівності маємо:

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо

Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду .

Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі Тоді якщо існує границя то існує границя і Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя. Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

а). Якщо то невизначеність виду 0· можна звести до основних так: або

б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :

в). Якщо , то і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0· , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.

№34.Формула Тейлора и Маклорена .

Формула Тейлора

f(x)= P(x) -

Формула Маклорена

№35. Область визначення ф-ції. Неперервність. Точки розриву

Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Якщо задані: числова множина та правило , що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу з множини певне число, то говорять, що задана функція з областю визначення .

Тобто, визначення області значень є необхідною умовою визначення функції.

Визначення. Значення змінних, на яких задається функція , називають допустимими значеннями змінних.

Визначення. Значення змінних, при яких алгебраїчний вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних. Множину всіх допустимих значень змінних називають областю допустимих значень змінних .

Визначення. Областю визначення рівняння називають множину всіх тих значень зміної x, при яких алгебраїчні вирази і одночасно мають зміст.

Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст.

Функція f(x) дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам Δx аргумента x відповідають малі зміни Δf значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Функція f(x) дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного ε > 0 знайдеться таке δ > 0 (яке залежить від ε), що з випливає | f(x) − f(x₀) | < ε. Функція f(x) неперервна в області , якщо f(x) неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай , x₀ — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x₀

Функція f називається неперервною в точці x₀ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.

2. існує границя

3. .

Означення неперервності в точці x₀ за Коші

Функція f називається неперервною в точці x₀ якщо: , що =>

Означення неперервності в точці x₀ за Гейне

Функція f називається неперервною в точці x₀ якщо: , якщо , то .

Точки розриву

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

№36 . Асимптоти ф-ції

Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е^-x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).

Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ — Заху = 0 (декартів лист) (+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b — похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі:

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад парабола асимптот не має.

№37. Достатні умови існування екстремуму

Теорема. Нехай є критична точка функції , яка в цій точці є неперервною, і нехай існує окіл точки , в якому має похідну , крім, можливо, точка . Тоді:

1) якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то є точкою максимуму функції ;

2) якщо в інтервалі , а в інтервалі то є точкою мінімуму функції ;

3) якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак ( набуває або тільки додатних, або тільки від'ємних значень), то не є екстремальною точкою функції .

Перше правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки даної функції (для цього слід розв'язати рівняння , причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції).

2) знайти точки, в яких похідна не існує (функція в цих точках існує);

3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти:

1) стаціонарні точки заданої функції

2) похідну другого порядку в стаціонарній точці.

3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо мінімум.

№38.Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку . Р о з в ’я з о к. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння дістаємо стаціонарні точки. Точок, в яких похідна не існує, немає. Обчислимо значення функції в точках (ці точки належать відрізку ), а також на кінцях відрізка, тобто в точках. Маємо Отже, найбільше значення становить , найменше - Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції замкненій області , потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області: найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим значенням функції в даній області. Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику (рис. 6.14), обмеженому прямими. Р о з в ’ я з о к. Знайдемо критичні точки функції: Оскільки в даній області, то У критичній точці функція приймає значення Дослідимо поведінку функції на границях області. На прямих і . На прямій ця функція є функцією однієї змінної , оскільки ; Знайдемо найбільше і найменше значення функції на відрізку : Критична точка. В цій точці . На кінцях відрізка. Отже, функція досягає найбільшого значення в точці, а найменшого – в точці. Найбільше значення , найменше значення . Зауваження. До знаходження відповідно найбільшого чи найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.

№39.Похідна і диференціали вищих порядків

Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

- функція два рази диференціюється по ;

- функція диференціюється по , а потім по ;

- функція диференціюється по , а потім по ;

- два рази диференціюється по .

Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .

Р о з в ' я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

; .

Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

Теорема. Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.

Нехай - диференційована в області функція двох незалежних змінних і . В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і , одержимо функцію двох змінних і , означену в області .

Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці . Позначається або .

Отже, за означенням .

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків.

№40.Застосування похідної в економіці:граничні показники,еластичність граничних показників.

Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.

За період часу від t0 до t0 + t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(t0) до значення u0 + u = u(t0 +t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу zсер=. Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої проду­ктивності за період часу від t0 до t0 + t при t à 0 , тобто

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.

Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.

Витрати виробництва y будемо розглядати як функцію кількості проду­кції х, що виробляється. Нехай х — приріст продукції, тоді y — приріст витрат виробництва і - середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна у' = — виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виро­бництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економіч­них об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об'єкта. Та­ким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об'єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких ви­падках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно ви­користовувати граничні величини.

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших приклад­них задач використовується поняття еластичності функції.

Означення: Еластичністю функції Еx (y) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при х à 0:

Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків змі­ниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Властивості еластичності функції:

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції Ту = (ln y)’ = , тобто

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:

3. Еластичності взаємообернених функцій — взаємообернені величини:

(4.22)

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) — коефі­цієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Економічний зміст частинних похідних

Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.

№43.Частинні похідні.Повна похідна.Повний диференціал і його застосування в наближених обчисленнях.

Частинна похідна функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як аргументи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

f(x,y) = x² + xy + y².

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

f(x,y) = f_x(y) = x² + xy + y².

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція f_x, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,f_x(y) = x² + xy + y².

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

f_a(y) = a² + ay + y².

В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже f_a - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:

f_a'(y) = a + 2y.

Наведену процедуру можна здійснити для довілього вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y.

Різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Формула носить назву формули повної похідної.

або

Повний диференціал функції f (x, у, z,...) декількох незалежних змінних — вираз

       У випадку, коли він відрізняється від повного приросту

         Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)

        на величину, безкінечно малу на відміну від

        

Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна. Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.