3. Смешанные стратегии

Предположим, что рассматриваемая игра не имеет седловых точек. В этом случае у игроков нет стратегий, которые гарантировали бы им получение возможно большего выигрыша. Каждому игроку в такой игре чрезвычайно важно знать намерения противника. И хотя правила игры не представляют такой возможности, при достаточно частом повторении игры с одним и тем же противником игрок может статистически оценить возможность выбора той или иной стратегии и использовать эту информацию с целью увеличения своего выигрыша.

Как должен поступить игрок, не желающий, чтобы его намерение было скрыто? Для этого целесообразно выбирать свои стратегии случайно (в соответствии с определенным случайным механизмом).

Пусть задана матричная игра (2). В дальнейшем мы будем называть стратегии i A , i B чистыми, чтобы отличать их от смешанных стратегий, определение которых будет дано ниже.

О п р е д е л е н и е 5. Смешанной стратегией игрока называется произвольное распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий.

Смешанная стратегия игрока Ι в игре Г есть вектор

Х = (х₁, х₂, …, х_i, …, х_m),

где х_i (i = 1, 2, …, m) – вероятность выбора им i-й чистой стратегии, 0 ≤ х_i ≤ 1, а поскольку одна из m чистых стратегий будет обязательно выбрана, х₁ + х₂ + … + х_m представляет собой вероятность полной группы событий и, следовательно,

х₁ + х₂ + … + х_i + … + х_m = 1.

Аналогично смешанная стратегия игрока ΙΙ есть вектор

Y = (y₁, y₂, …, y_j, …, y_n),

где y₁ (j = 1, 2, …, n) – вероятность выбора им j-й чистой стратегии,

0 ≤ y_j ≤ 1 и y₁ + y₂ + … + y_j + … + y_n = 1.

Чистые стратегии являются частным случаем смешанной стратегии, задаваемой единичным вектором.

Множества смешанных стратегий игроков Ι и ΙΙ будем обозначать соответственно через S_m и S_n:

S_m = {Х = (х₁, х₂, …, х_i, …, х_m ) R^m | 0 ≤ х_i ≤ 1, i = х₁ = 1};

S_n = {Y = (y₁, y₂, …, y_j, …, y_n) Rⁿ | 0 ≤ y_j ≤ 1, j = y_j = 1}.

4. Смешанное расширение игры

Пусть в игре (2) с матрицей выигрышей

Н = {h_ij, i = , j = }

игроки Ι и ΙΙ независимо друг от друга выбирают свои смешанные стратегии

Х = (х₁, х₂, …, х_i, …, х_m) и Y = (y₁, y₂, …, y_j, …, y_n).

О п р е д е л е н и е 6. Пара (Х, Y) смешанных стратегий игроков в матричной игре (2) называется ситуацией в смешанных стратегиях в этой игре.

Так как игроки Ι и ΙΙ выбирают свои смешанные стратегии Х и Y независимо (это возможно в силу отсутствия какого-либо обмена информацией между игроками), в условиях ситуации (Х, Y) каждая ситуация (i, j) (в чистых стратегиях) оказывается случайным событием, которое реализуется с вероятностью х_i · y_j. Следовательно, в условиях применения стратегий Х и Y выигрыш игрока Ι есть двумерная дискретная случайная величина, заданная следующей таблицей:

Значения выигрышей игрока	h11	…	h1n	h21	…	h2n	…	hm1	…	hmn
Вероятности появления выигрышей	x1 · y1	…	x1 · yn	x2 · y1	…	x2 · yn	…	xm · y1	…	xm · yn

Таким образом, при использовании смешанных стратегий выигрыш игрока Ι оказывается случайной величиной с распределением, порожденным смешанными стратегиями на множестве всех ситуаций игры. Поэтому выигрыш игрока Ι в ситуации в смешанных стратегиях полагается равным математическому ожиданию выигрыша в чистых стратегиях:

Н (Х, Y) = Е (Х, Y) = h_ij x_i y_j.

Игрок ΙΙ получит -Е (Х, Y).

Задав множества смешанных стратегий S_m, S_n и функцию выигрыша Е (Х, Y), мы определили новую игру

Г = < S_m, S_n, Е (Х, Y) >, (15)

которая называется смешанным расширением игры (2).

О п р е д е л е н и е 7. Смешанным расширением матричной игры

Г = <А, В, Н > называется антагонистическая игра Г = < S_m, S_n, Е (Х, Y) >, в которой множествами стратегий игроков являются их смешанные стратегии в исходе игры, а функция выигрыша игрока Ι определяется выражением (14).

В матричной форме выражение (14) можно записать так:

H (X, Y) = (x₁, …, x_m) = XHY^T,

где Т – знак транспонирования.

Вспоминая определение седловой точки игры (2), видим, что ситуация (Х^*, Y^*) в смешанном расширении матричной игры является седловой точкой, если при любых Х S_m и Y S_n выполняется двойное неравенство

XHY^*T ≤ X^*HY^T ≤ X^*HY^T. (16)

О п р е д е л е н и е 8. Стратегии Х^*, Y^* называются оптимальными смешанными стратегиями игроков Ι, ΙΙ в игре (2), если для любых Х S_m и Y S_n справедливо двойное неравенство (16).

Аналогично тому, как это было сделано для игры (2), можно ввести понятия нижнего и верхнего значения игры (15):

= max min H (X, Y);

^{Х S Y S}

= min max H (X, Y).

^{Y S Х S}

Величина

v = X^*HY^{*T =} max min XHY^T = min max XHY^T

^{Х S Y S Y S Х S}

называется значением (ценой) игры Н.

Нахождение Седловых точек (оптимальных стратегий) и значение игры мы будем называть решением игры Н (в смешанных стратегиях).

Теорема 3. Для того чтобы игра Н имела решение в смешанных стратегиях, необходимо и достаточно, чтобы

max min XHY^T = min max XHY^T (17)

^{Х S Y S Y S Х S}

Равенство (17) представляет собой принцип максимина (минимакса) в смешанных стратегиях.

Теорема 4. Если (X', Y') (X'', Y'') – седловые точки игры в смешанных стратегиях, то:

а) (X', Y'') и (X'', Y') также являются седловыми точками;

б) Н (X', Y') = Н (X'', Y'') = Н (X', Y'') = Н (X'', Y').

Доказательства теорем (3), (4) аналогичны доказательствам теорем (1) т (2).

Как мы уже видели, не всякая матричная игра имеет решение в чистых стратегиях. С помощью смешанных стратегий становится возможным важнейшее в теории игр утверждение – теорема Неймана.

Теорема 5. Какова бы ни была матрица Н,

max min XHY^T = min max XHY^T

^{Х S Y S Y S Х S}

Мы не будем останавливаться на доказательстве этой теоремы. Впервые она была доказана Дж. фон Нейманом. Приводимое им доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке и в силу этого является неконструктивным (не дает способа нахождения решения игры).

Замечание 3. В литературе по теории игр можно встретить различные названия этой теоремы – теорема о минимаксах, теорема Неймана, основная теорема (матричных игр).

Итак, любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях. Поэтому следующий раздел посвящен описанию методов решения матричных игр.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

Согласно теореме 5 любая матричная игра имеет значение v, а игроки в ней – оптимальные стратегии Х^*, Y^* (смешанные).

Тройку (Х^*, Y^*, v) будем называть решением матричной игры.

Сравнительно просто решаются игры, в которых один из игроков имеет всего 2 чистые стратегии: игры 2 2, 2 n и m 2. при этом, как правило, игры 2 2 решаются аналитическим методом, а 2 n и m 2 – графическим. При m, n > 2 матричные игры сводятся к задачам линейного программирования и решаются симплексным методом. Однако следует заметить, что уже в игре 3 3 применение этого метода приводит к довольно громоздким вычислениям.