30. Загасаючі коливання

Незагасаючі коливання, розглянуті вище, є ідеалізацією. В реальності на коливне тіло діють різноманітні сили тертя і опору, які призводять до втрат енергії, відтак і до загасання коливань.

Рівняння загасаючих коливань

 Розглянемо найбільш типовий випадок, коли сили опору пропорційні швидкості руху коливного тіла:

(20.39)

де       стала, яку називають коефіцієнтом опору.  Знак « » зумовлений тим, що сила опору напрямлена протилежно до напряму руху. Оскільки на тіло в даному випадку діють дві сили: квазіупружна сила та сила опору, рівняння другого закону Ньютона набуває вигляду:

Перепишемо це рівняння у канонічній формі:

і введемо позначення:   . Коефіцієнт    називають коефіцієнтом загасання,    власна частота коливань, тобто частота коливань за відсутності загасання. Таким чином, рівняння руху має вигляд

(20.40)

Вигляд функції, яка є розв’язком цього рівняння залежить від співвідношення коефіцієнтів  . Якщо ,  то коливання не відбуваються і тіло, яке вивели із стану рівноваги, повільно повертається в цей стан. Якщо ж   ,  то розв’язком рівняння (20.40) є функція

(20.41)

Тут циклічна частота коливань

		(20.42)

Графік функції (20.41) представлений на рис 20.13. Пунктиром показані межі, в яких знаходиться зміщення коливної точки. Ви можете також побачити загасаючі коливання при різних значеннях коефіцієнта загасання, натиснувши ТУТ.

Відповідно до вигляду функції (20.41) рух точки можна розглядати як коливання з частотою   ,  яка визначається виразом (20.42).  Верхня з пунктирних кривих на рис. 20.13  є графіком функції

(20.43)

причому a₀  це амплітуда у початковий момент часу. Незважаючи на те, що  a(t)  є функцією часу^[1]  її  задля зручності її також називають амплітудою.

 

^[1] При строгому розумінні термін «амплітуда» має на увазі, що ця величина є незмінною.

Параметри, що характеризують загасаючі коливання

Загасаючі коливання характеризують наступними параметрами: час релаксації, період, логарифмічний декремент загасання, добротність.

 

Час релаксації      це проміжок часу, за який амплітуда коливань зменшується в  е   2,71 рази. З формули (20.43) можемо записати:

(20.44)

Отже час релаксації  величина, обернена до коефіцієнта загасання.

Період загасаючих коливань зв’язаний з циклічною частотою виразом

(20.45)

При малому загасанні  (  )  період коливань практично не відрізняється від   .

Логарифмічний декремент загасання  логарифм відношення двох послідовних амплітуд:

(20.46)

Якщо врахувати (20.44), то

(20.46а)

Відношення часу релаксації     до періоду коливань  Т  дорівнює кількості коливань, які були здійснені системою за час релаксації:

(20.47)

Отже логарифмічний декремент загасання є величиною, оберненою до кількості коливань, що здійснюються в системі за час, за який амплітуда коливань зменшуються в  е  разів.

Добротність  Q  це величина, яка пропорційна до кількості коливань  N_e,  що відбуваються в коливній системі за час релаксації   :

(20.48)

де враховано вираз (20.47).

Можна показати, що добротність пропорційна відносним втратам енергії системи     за період коливань:

(20.49)

де  W    енергія коливної системи на початку розглядуваного періоду.