Додавання коливань одного напрямку. Биття

Наочним прикладом додавання коливань одного напрямку може бути рух кульки, яка здійснює вертикальні коливання на пружині, підвішеній до стелі вагона, який сам здійснює вертикальні коливання на ресорах. Результуючий рух кульки відносно Землі буде складатися з коливань вагона та коливань кульки відносно вагона.

Найпростіше додавати два коливання одного напрямку, частоти яких однакові, наприклад

Представимо обидва коливання за допомогою векторів     та   ,  які обертаються в одній площині навколо осі, що проходить через точку О, з кутовою швидкістю   .  Положення цих векторів у певну мить показано на рис. 20.8. Легко бачити, що сума проекцій векторів на вісь OX дорівнює проекції результуючого вектора на цю ж вісь, отже вектор     являє собою амплітуду результуючого коливання. При цьому вектор  a  обертається також з кутовою швидкістю .  Квадрат амплітуди вектора  a  визначимо за теоремою косинусів:

(20.30)

а фазу у дану мить   з виразу:

(20.31)

Якщо вектори побудовані для початкового моменту часу, то вираз (20.31) визначає початкову фазу коливань.

За наведеною схемою можна додавати і більше ніж два коливання. Особливо часто цей прийом використовують в оптиці, де треба додавати коливання, які прийшли в дану точку від різних ділянок хвильового фронту.

 

Наочне уявлення про форму залежності від часу функції, яка є результатом додавання двох (або більше) коливань одного напрямку, однакової, чи різної частоти, можна одержати за результатами графічного додавання. Для цього ретельно будують графіки функцій, що додаються, і далі по точках додають координати. Приклад додавання коливань наведено на рис. 20.9.

Уявлення про результуючу залежність координати від часу при додаванні трьох коливань з частотами ,    та    ви можете одержати, натиснувши тут.

Важливим у практичному відношенні є додавання коливань, циклічні частоти яких відрізняються на малу величину. Припустимо, що одне з коливань відбувається з частотою   , інше  з частотою ,  де  .  Для простоти будемо вважати амплітуди коливань однаковими  a₁ = a₂ = a  і початкові фази рівні нулеві. Тоді рівняння цих коливань мають вигляд:

Додавши ці вирази, одержимо:

(20.32)

Такі коливання називають биттями і графік функції (20.32) показаний на рис. 20.10а для випадку   .

Множник у дужках у формулі (20.32) змінюється значно повільніше, ніж другий множник, оскільки   .  З цієї причини за той час, за який множник    здійснить декілька повних коливань, множник у дужках майже не зміниться.  Це дозволяє розглядати коливання, що описується рівнянням (20.32) як гармонічне з частотою  ,  амплітуда якого змінюється за гармонічним законом. Виразом цього закону є модуль виразу, що стоїть у дужках. Графік залежності амплітуди від часу показаний на рис. 20.10 б.

Ви можете також подивитися на биття при різних співвідношеннях між амплітудами коливань та при різних значеннях відношення  , натиснувши тут.