28. Аналогія в описанні гармонічних коливань та обертального руху

Виявляється, що існує аналогія між описанням гармонічними коливаннями і описанням обертального руху. Дійсно, припустимо, що точка Р рівномірно рухається по колу радіуса r.  Її положення в кожну мить задається радіусом-вектором r, проведеним з центра кола (рис. 20.1а). При цьому координата x точки змінюється з часом за законом

де      кут між віссю OX та радіусом-вектором в дану мить. Якщо кутова швидкість  точки дорівнює  ,  то кут     змінюється з часом за законом

де       кут    на момент часу  t = 0.  Отже маємо

що співпадає з рівнянням коливального руху (20.3а). Зауважимо, що координата y точки описується законом синуса.

Таким чином, гармонічні коливання і обертальний рух описуються подібними рівняннями, що дозволяє розглядати коливальний рух як обертання певного вектора, модуль (довжина) якого дорівнює амплітуді коливань, кутова швидкість  циклічній частоті коливань, початковий кут  початковій фазі коливань. При цьому в дану мить кут між вектором і віссю координат дорівнює фазі коливань. Так уведений вектор у теорії коливань називають векторною діаграмою.

Надзвичайно зручно представляти коливальний рух за допомогою комплексних чисел. Розглянемо комплексну площину з дійсною віссю X та уявною Y (рис. 20.1б). Кожній точці цієї площини відповідає комплексне число

Згідно з формулою Ейлера

отже

при чому    і  .

Таким чином виявляється, що замість тригонометричних функцій можна користуватися комплексною показниковою функцією, і записати рівняння коливального руху у вигляді

(20.5)

При використанні комплексної показникової функції дії множення та ділення суттєво спрощуються. Будь-які операції з ними виконуються так само, як і зі звичайними показниковими функціями. При одержанні дійсних виразів, що містять квадрат амплітуди (наприклад, виразу енергії коливань), треба шукати добуток функції на її комплексно-спряжену (не підносити до квадрату), тобто

29. Додавання коливань. Биття

Гармонічні коливання підпорядковані принципу суперпозиції, тому складні періодичні процеси виявляється зручно представляти у вигляді суми гармонічних коливань. Цей прийом широко застосовується при спектральному аналізі періодичних сигналів складної форми, в оптиці та інших областях техніки. На практиці доводиться мати справу з наступними випадками:

 

1. Додавання коливань одного напрямку. Биття

2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань