Застосування закону Біо-Савара

Для визначення індукції, що створюється струмом у провіднику кінцевих розмірів, треба вирази (16.5)  (16.7) інтегрувати з урахуванням векторного характеру індукції. Одразу наголосимо, що в загальному випадку ці розрахунки можуть бути досить складними. Однак при наявності певної симетрії в розподілі струму розрахунки суттєво спрощуються.

Найчастіше доведеться розглядати провідники, які можна представити як сукупність прямих відрізків дроту, або ж як сукупність провідників у формі кільця. Тому розглянемо саме ці два випадки.

 

1. Магнітне поле прямого струму

2. Магнітне поле на осі колового струму

 

Магнітне поле прямого струму

Струм сили  I  тече по прямому тонкому відрізку дроту довжини  L.  Визначимо індукцію магнітного поля в точці, розташування якої показано на рис. 16.4а.

Струм  I,  що тече по відрізку дроту довжини  dl,  створює в точці  А магнітне поле з індукцією  dB, вектор якої напрямлений за площину рисунка. Модуль цього вектора визначається виразом (16.7). Усі елементи струму даного провідника створюють в точці А таке ж за напрямом поле, тому для визначення модуля результуючої індукції треба додати модулі усіх векторів  dB, тобто проінтегрувати вираз (16.7) по всім елементам струму від точки 1 до точки 2:

Виразимо довжину відрізка  l  через задану відстань  r₀   і звернемо увагу на те, що  dl   є приростом відрізка l.  Тоді

Знак ” в останньому виразі показує, що відрізок l зменшується при зростанні кута . Нас ця обставина не цікавить, тому знак ” не будемо враховувати. Тепер маємо:

де враховано, що   . З рис. 16.4б видно, що кут     змінюється від     до     (нагадаємо, що кут відраховується від напряму струму), тому

(16.8)

Оскільки

остаточно маємо:

В окремому випадку дуже довгого прямого дроту (теоретично  нескінченно довгого)  ,  отже

(16.9)

 

Магнітне поле на осі колового струму

Струм I тече по круглому кільцю радіуса R, виготовленому з тонкого дроту. Визначимо індукцію магнітного поля на осі кільця на відстані z від точки О (рис. 16.5). Для цього поділимо кільце на елементи струму Idl. Один з таких елементів і створений ним вектор dB показані на рис. 16.5. Інші елементи струму створюють такі ж за величиною вектори dB, але вони напрямлені так, що утворюють конус. При додаванні цих векторів сума складових, перпендикулярних до осі, дорівнюватиме нулю і результуюча індукція визначатиметься сумою складових  , напрямлених вздовж осі кільця.

Проекція вектора dB на вісь кільця

де враховано, що кут між вектором dl та радісом-вектором r дорівнює   , отже його синус дорівнює одиниці. Інтегрування по усім елементам dl дає      довжину кільця (решта величин, що входять у формулу для  dB_z  є незмінними). Врахувавши, що  cosβ = R/r,  а  також r² = z² + R², знаходимо

(16.10)

У центрі кільця (z = 0)

(16.11)

а на великій відстані (z >> R)