5.Односторонний предел по Коши

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число   такое, что для всех точек  из интервала   справедливо неравенство  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякого положительного числа   отыщется отвечающее ему положительное число  , такое, что для всех точек  из интервала   справедливо неравенство  .^[1]

Односторонний предел по Гейне

• Число   называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, больших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .

• Число   называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции   в точке  , если для всякой последовательности  , состоящей из точек, меньших числа  , которая сама сходится к числу  , соответствующая последовательность значений функции   сходится к числу  .^[1]

6. 1. Бесконечно малые функции и их сравнение.

 

Пусть y=f₁(x) и y=f₂(x) – некоторые две функции, а x стремится к некоторому x₀(конечному или бесконечному). Если при этом f₁(x)→0 и f₂(x)→0, то есть если

Это значит, что f₂(x) несравненно меньше f₁(x) при x→x₀ (f₂(x) несравненно быстрее, чем , стремится к нулю при x→x₀). В этом случае говорят, что функция f₂(x) является бесконечно малой функцией более высокого (высшего) порядка малости, чем функция f₁(x),при x→x₀. И обозначают этот факт так:

                                                      

(читается: f₂(x) есть «о малое» от f₁(x) при x→x₀). Суть записи (4.3) состоит, как сказано выше, в том, что бесконечно малая функция f₂(x) является бесконечно малой частью другой бесконечно малой функции f₁(x) при x→x₀.

7. Определение

Пусть   и  .

Функция   непрерывна в точке  , если для любого   существует  такое, что для любого

Свойства

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .

• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .

• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .

• Если функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  , то их композиция  непрерывна в точке  .

8. Точки разрыва первого и второго рода

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называютточкой разрыва второго рода.

9. Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке  . Функция   непрерывна в точке  , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке,

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка  , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке  , справедливы следующие утверждения.

Функция, непрерывная на отрезке   , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке   существуют точки   такие, что

.

Если функция   непрерывна на отрезке   и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале   существует точка    , в которой функция обращается в нуль, т.е.    . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений   с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция    непрерывна на отрезке     , дифференцируема хотя бы на интервале   , то на интервале   существует точка  , такая, что   . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теория Дифференциальной последовательности

10. 1) Физический смысл производной. Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная  – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .2) Геометрический смысл производной.

Пусть   – некоторая кривая,  – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая   не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой  в точке   называется предельное положение секущей   ,  если точка   стремится к  ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке  существует, то она единственная

11. 1) Производная константы равна нулю, т.е  , где C  – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е  .      3) Производная произведения находится по правилу:  .

4)  , где   - константа. 5) Производная дроби находится по правилу: .

 6) Если функция  имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  , причем  (правило дифференцирования сложной функции).

 7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем  .  Если существует обратная функция  , то она имеет производную в точке и   (производная обратной функции).

12. Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  . Т е о р е м а  1. Если функция   имеет производную в точке  , а функция   имеет производную в точке  , то сложная функция

                                                     (1)

имеет производную (по  ) в точке   и справедливо равенство

                                                      (2)

или

.                                                             (3)