Формула полной вероятности.
Систему событий А1, А2, ...,AN называют конечным разбиением (или просто разбиением), если они попарно несовместны, а их сумма образует полное пространство событий: А1 + А2 + ... + АN =
Если
события Аi
образуют разбиение пространства событий
и все P(Ai)
> 0, то для любого события В имеет место
формула полной вероятности: P(B)
=
P(Ak)P(B/Ak),
что непосредственно следует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:
B = B = BA1+BA2+...BAN.
P(B) = P(BA1)+P(BA2)+... +P(BAN) = P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(AN)P(B/AN).
Формула сложения вероятностей.
U - достоверное событие
Покажем,
что события
несовместны.
*
Если события несовместны, то
;
;
т.е. события несовместны.
Тогда
по третей аксиоме теории вероятности
Справедливо следующее тождество на основании (1) и закона дистрибутивности
Показать самим, что все три множества попарно несовместны.
На основании первой и третей аксиомы теории вероятности получаем:
Имеет
место тождество
,
показать самим, что
несовместны
По третей аксиоме:
Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий
Формула Бейса
Пусть имеется полная группа попарнонесовместных гипотез Н1,Н2…Нn с известными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло
Формула Байеса.
Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие Bi.
Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные - априорными вероятностями.
P(ABi)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)
Откуда,
Таким
образом, формула Байеса:
Повторение опытов
Несколько опытов называются независимыми, если вероятность одного или иного из исходов каждого их опытов не зависит от того какие исходы имели другие опыты.
Теорема. Если производится n независимых опытов в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем то тогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз определяется по формуле.
Формула Бернули
формула Бернули применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.
Если число испытаний n стремится к 0, а вероятность появления события А в каждом из опытов р стремится к 0, то для определения вероятности появления события А ровно m раз применяют формулу Пуассона
a=n*p
Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа
Локальная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза приблизительно равно
Случайные величины и законы их распределения
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать качественно и количественно.
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение., причем заранее не известно какое именно. Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)
Дискретными называются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить.
Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности.
Ряд и многоугольник распределения.
Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения.
x |
x1 |
x2 |
x3 |
P |
P1 |
P2 |
P3 |
Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.