Вычисление вероятностей

1. классический способ 2. геометрический

3. статистический

Первые два способа называются способами непосредственного подсчета вероятности, а классический основан на подсчете числа опытов благоприятствующих данному событию среди всех его возможных исходах.

Основы теории вероятности

Суммой событий А_i называется событие С состоящее в появлении события А или события В или их обоих вместе.

Суммой события А и В называется событие С заключенное в выполнении хотя бы одного из названых событий.

Произведением нескольких событий называется событие заключающееся в совместном выполнении всех этих событий.

Теорема умножения вероятностей.

Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от того произошло событие В или нет.

Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Р(А₁;А₂…А_n)=Р(А₁)*Р(А₂/А₁)*…

*Р(А_n/А₁,А₂…А_n-1)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимых совокупностей событий .А₁,А₂…А_n равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий А₁,А₂…А_n

Р(А)=1-q¹*q²*…*qⁿ

Формула полной вероятности

Пусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместных событий Н₁,Н₂…Н_n называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.

B₁, B₂, ..., B_k

Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B₁A+B₂A+...+B_kA.

Показать, что события B₁A, B₂A, B_kA попарно несовместны. B_iAB_jA=B_iB_jAA=VAA=V

Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно B_i, т.к. B₁, B₂, ..., B_k образуют полную группу.

Т.к. B₁, B₂, ..., B_k несовместны, то по третей аксиоме теории вероятности имеем:

; т.е.

Например: Имеются урны трех составов

1	5 урн	6 белых и 3 черных шара
2	3 урны	10 белых и 1 черный
3	7 урн	0 белых и 10 черных

Все шары в каждой урне перемешаны.

Испытание - извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар.

B₁ - Вытащить любой шар из урны 1.

B₂ - Вытащить любой шар из урны 2.

B₃ - Вытащить любой шар из урны 3.

A - Извлечь белый шар.

A=B₁A+B₂A+B₃A

B₁, B₂, B₃ - попарно несовместны.

Формула полной вероятности: P(A)=P(B₁)P(A/B₁)+P(B₂)P(A/B₂)+P(B₃)P(A/B₃)

P(B1)=1/3	P(A/B1)=6/9=2/3
P(B2)=1/5	P(A/B2)=10/11
P(B3)=7/15	P(A/B3)=0

P(A)=1/32/3+1/511/10+7/150=2/9+2/11=40/990.4