Лабораторная работа 51 / lab05_final
.docФедеральное агентство по образованию Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра автоматики и процессов управления
Отчет по лабораторной работе № 5
на тему: «Исследование характеристик систем с обратной связью в корневой, временной и частотной областях. Устойчивость замкнутых систем с отрицательной обратной связью»
по дисциплине «Теория автоматического управления»
Бригада № 1, вариант № 1
Выполнили: Богомолова К.С.
Золотарев А.Р.
Миненков Д.В.
Группа: 4322
Факультет: КТИ
Проверил: Баранов А.В.
Санкт-Петербург
2006
Цель работы: Исследование характеристик систем с обратной связью в корневой, временной и частотной областях. Устойчивость замкнутых систем с отрицательной обратной связью.
Задача 5.1. Для системы с единичной отрицательной обратной связью и ПФ прямой цепи, равной
,
построить траекторию корня ХП
.
Для этого следует последовательно
задаваться различными значениями
и откладывать соответствующие точки,
отвечающие корням, на комплексной
плоскости. Затем точки соединяются
между собой так, чтобы получить непрерывную
линию (траекторию корня). Указать
направление траектории при увеличении
значения
.
Количество точек выбирается таким,
чтобы получить целостное представление
о траектории.
Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью
Передаточную функцию разомкнутой системы можно записать в виде:
.
Передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:
.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
.
Траектория движения корней рис. 2.
Рис. 2. Траектория движения корней характеристического полинома замкнутой системы
Вопрос: Какой вид имеет траектория
корня системы при изменении
?
Ответ: Траектория корня системы
при изменении
имеет вид луча, лежащего на вещественной
оси и направленного влево. При увеличении
,
корни смещаются по вещественной оси
влево. И при
,
корни стремятся к
.
Вопрос: Как влияет изменение
коэффициента
на переходную
и частотные характеристики
(амплитудно-фазовую (АФХ), логарифмические
амплитудно-частотную (ЛАЧХ), фазочастотную
(ЛФЧХ)) замкнутой и разомкнутой системы?
Привести графики
и
АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ.
Ответ: Переходная характеристика, ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ разомкнутой системы показаны на рис. 4.
Переходная характеристика, ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ замкнутой системы показаны на рис. 5.
Рис. 4. Переходная характеристика
(сверху), ЛАЧХ и ЛФЧХ (по центру) и АФХ
(снизу) разомкнутой системы, при изменении
коэффициента
;
Синим цветом отмечены характеристики
для
;
Зеленым для
;
Красным для
.
Изменение
коэффициента
влияет на наклон переходной характеристики
.
Чем больше
,
тем больше угол наклона.
Изменение
коэффициента
влияет на высоту ЛАЧХ. Чем больше
,
тем выше проходит характеристика. При
увеличении
на 1, график сдвигается на
дБ вверх.
Изменение
коэффициента
не влияет на положение и форму АФХ. Но
с ростом
снижается быстродействие системы, АФХ
медленнее стремится к нулю.
Рис. 5. Переходная характеристика
(сверху), ЛАЧХ и ЛФЧХ (по центру) и АФХ
(снизу) замкнутой системы, при изменении
коэффициента
;
Синим цветом отмечены характеристики
для
;
Зеленым для
;
Красным для
.
Изменение
коэффициента
влияет на крутизну (длительность
затухания) переходной характеристики
.
Чем больше
,
тем быстрее система приходит к
установившемуся значению.
Изменение
коэффициента
влияет на положение ЛАЧХ. С ростом
растет значение частоты, на которой
ЛАЧХ приобретает наклон -20 дБ на декаду.
Т.к.
ЛФЧХ зависит от ЛАЧХ, то изменение
коэффициента
влияет на положение ЛФЧХ. Чем больше
,
тем выше частота перегиба ЛФЧХ.
Изменение
коэффициента
не влияет на положение и форму АФХ. Но
с ростом
повышается быстродействие системы. АФХ
быстрее стремится к нулю.
Задача 5.2. Для той же системы из задачи 5.1 с ПФ вида
построить
корневой годограф (по методике задачи
5.1) при изменении
от нуля до бесконечности.
Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью рис. 6.
Рис. 6. Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью
Передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:
.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
.
Траектория движения корней представлена на рис. 7.
Рис. 7. Траектория движения корней характеристического полинома разомкнутой системы
При
,
корни располагаются на вещественной
оси. Координаты:
и
.
С ростом
,
корни начинают сближаться. И, встретившись, разбегаются в разные стороны вдоль мнимой оси, т.о.
становясь комплексными.
Вопрос:
Как будут располагаться на комплексной
плоскости корни ХП
при
?
Показать траектории.
Ответ: Корни будут располагаться на вещественной оси, в левой и правой полуплоскостях. Рис. 8.
Рис. 8. Расположение корней характеристического
полинома при
При
,
корни располагаются на вещественной
оси. Координаты:
и
.
С уменьшением
от
0 до
,
корни начинают разбегаться, оставаясь
на вещественной оси.
Вопрос:
Как изменяется переходная характеристика
замкнутой системы при изменении
коэффициента передачи в интервале
?
Привести качественно различные графики
(т. е. отвечающие различным корням:
простым вещественным; кратным вещественным;
комплексным).
Ответ: Графики, отвечающие различным корням приведены на рис. 9.
Рис. 9. Графики, отвечающие различным корням: простым вещественным (зеленого цвета); кратным вещественным (красного цвета); комплексным (синего цвета).
Задача 5.3. Для той же системы с ПФ вида
,
построить корневой годограф при изменении
от нуля до бесконечности.
Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью представлена на рис. 10.
Рис. 10. Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью
Передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:
.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
.
Траектория движения корней представлена на рис. 10 а).
Рис. 10 а). Траектория движения корней
Вопрос:
Определить критическое значение
,
при котором замкнутая система находится
на границе устойчивости. Исследовать
временные и частотные характеристики
(АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) замкнутой и разомкнутой
системы, при
;
;
.
Привести графики.
Ответ:
Определим
по методу Гурвица:
Временные и частотные характеристики
замкнутой системы, при
;
;
представлены на рис. 11.
Рис. 11. Временная характеристика (сверху),
ЛАЧХ и ЛФЧХ (по центру), АФХ (снизу)
замкнутой системы, при
(синего цвета);
(зеленого цвета);
(красного цвета)
Временные
и частотные характеристики разомкнутой
системы, при
;
;
представлены на рис. 12.
Рис. 12. Временная характеристика (сверху),
ЛАЧХ и ЛФЧХ (по центру), АФХ (снизу)
замкнутой системы, при
(синего цвета);
(зеленого цвета);
(красного цвета)
Вопрос:
Определить по графикам запасы устойчивости
замкнутой системы по амплитуде
и по фазе
при
;
?
Ответ:
Определение запасов устойчивости
замкнутой системы по амплитуде
и по фазе
при
;
на рис. 13.
Рис. 13. Определение запасов устойчивости
замкнутой системы по амплитуде
(L)
и по фазе
(F),
при
(синего цвета);
(зеленого цвета);
(красного цвета)
Из рис.
11 следует, что запасы устойчивости для
10 децибел по амплитуде и 25 градусов по
фазе, а для
запасы устойчивости по амплитуде
нулевые, а по фазе – 30 градусов.
Задача 5.4. Для системы из задачи 5.3
в прямую цепь ввести последовательно
дополнительное звено с ПФ
.
Определить ХП
замкнутой системы и построить корневой
годограф при изменении коэффициента
передачи в интервале
.
Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью представлена на рис. 14.
Рис. 14. Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью
Передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:
.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
.
Траектория движения корней представлена на рис. 15.
Рис. 15. Траектория движения корней
Вопрос: Чем объясняется неподвижность одного из корней ХП?
Ответ: Неподвижность одного из корней ХП объясняется наличием диполя.
Вопрос: Как проявляется на временных и частотных характеристиках замкнутой системы наличие неподвижного корня ХП?
Ответ: Временные и частотные
характеристики замкнутой системы (для
случая
)
приведены на рис. 16.
Из графиков видно, что они (характеристики) соответствуют характеристикам системы, имеющей порядок 2.
Рис. 16. Временная характеристика (сверху),
ЛАЧХ и ЛФЧХ (по центру), АФХ (снизу)
замкнутой системы для случая
Вопрос: Как объяснить характер
траекторий подвижных корней ХП
при изменении
?
Ответ: Если не брать в расчет неподвижный диполь, то траектория движения подвижных корней совпадает с траекторией движения корней системы, не имеющей диполя.
Т.е. Передаточная функция такой разомкнутой
системы:
.
ПФ
замкнутой системы будет:
.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
.
Траектория движения корней такой системы представлена на рис. 17.
Рис. 17. Траектория движения корней
Задача 5.5. Принять ПФ прямой цепи в виде:
.
Используя изложенную в основных
сведениях из теории методику оценки
подвижности корней, использующую ЛАЧХ
разомкнутой системы
,
определить диапазон частот
(где усиление контура велико), диапазон
частот
(где усиление контура мало) и приближённые
значения отдельных корней ХП замкнутой
системы, которые принадлежат этим
областям. Найти точные значения корней
ХП и оценить эффективность методики
для рассматриваемого примера.
,
тогда структурная схема системы с
единичной отрицательной обратной связью
представлена на рис. 18.
Рис. 18. Структурная схема системы с единичной отрицательной обратной связью
Передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:
.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
.
Построим ЛАЧХ разомкнутой системы:
Рис. 19. ЛАЧХ разомкнутой системы.
Из рис. 19 следует, что
;
.
Полюсы этой ПФ:
,
,
,
.
Из
рис.19 также следует, что только
принадлежит диапазону частот с малым
усилением (
),
значит один из корней ХП замкнутой
системы приблизительно равен ему.
Проверим это предположение:
Найдем корни характеристического полинома замкнутой системы:
,
,
,
.
Корень
характеристического полинома замкнутой
системы
близок к корню характеристического
полинома разомкнутой системы
,
значит наше предположение верно.